Em cada item a seguir, resolva o PVI e determine o maior intervalo em que a solução existe.
Passo 1
Vamos resumir o que temos aqui: precisamos resolver um Problema de Valor Inicial (PVI) com a seguinte equação diferencial:
O conteúdo que vamos usar para resolver isso é de Equações Diferenciais, especificamente equações separáveis. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis e integrar ambos os lados para encontrar a função $ y(x) $ que satisfaz a equação e a condição inicial.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação diferencial para facilitar a separação das variáveis. A equação dada é:
Podemos fatorar $ y^{2} $ do lado direito:
Aqui, $ y’ $ representa a derivada de $ y $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{dy}{dx} $.
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis $ y $ e $ x $. Isso significa que vamos reorganizar a equação para que todos os termos com $ y $ fiquem de um lado e todos os termos com $ x $ fiquem do outro lado.
Dividimos ambos os lados por $ y^{2} $:
Passo 4
Com as variáveis separadas, vamos integrar ambos os lados da equação. Isso nos permitirá encontrar uma expressão para $ y $ em termos de $ x $.
Integrando o lado esquerdo:
Sabemos que:
E:
Então, após integrar ambos os lados, temos:
Passo 5
Agora, vamos resolver para $ y $ e determinar a constante $ C $ usando a condição inicial $ y(0) = 1 $.
Primeiro, isolamos $ y $:
Agora, aplicamos a condição inicial $ y(0) = 1 $:
Substituindo $ C = -1 $ na expressão para $ y $:
Passo 6
Por fim, precisamos determinar o maior intervalo em que a solução existe. Para isso, observamos os pontos onde o denominador se anula, pois nesses pontos a função $ y $ não está definida.
Analisamos a equação:
Resolvendo $ 1 - 2x - \frac{1}{2}x^{2} = 0 $:
Multiplicando por 2 para eliminar o denominador:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, a função $ y(x) $ está definida para todos os $ x $ entre $ -2 - \sqrt{6} $ e $ -2 + \sqrt{6} $.
Resposta
A solução do PVI é:
E a solução existe no intervalo: