Calcular as seguintes integrais impráprias (ou detarminar sua Comengéncia)
integral0^infty d xx^3+1

Passo 1

A gente quer calcular a integral imprópria
$$
\int_{0}{\infty}\frac{dx}{x{3}+1}\n$$
O conteúdo principal envolve integrais impróprias e uso de uma fórmula fechada (relacionada à função Beta) para integrais do tipo integral0^inftydxx^3+1n.

Passo 2

Primeiro, checamos a convergência da integral:
  • Para xto0, temos 1/(x^3+1)sim1, então não há divergência no limite inferior.
  • Para xtoinfty, temos 1/(x^3+1)sim x^-3 e como o expoente 3 é maior que 1, a parte no infinito também converge.
    Logo, a integral converge.

Passo 3

Agora usamos o resultado padrão (que se demonstra via função Beta):
integral0^inftyx^p-11+x^q,dx = piq,sinl(tfracppiqr)
válido quando 0.

Passo 4

Na nossa integral temos p=1 e q=3. Substituindo na fórmula:
integral0^inftydx1+x^3 = pi3,sinl(tfrac1pi3r) = pi3,sin(pi/3) = pi3,(raiz3/2) = 2pi3raiz3

Passo 5

Portanto a integral converge e seu valor é dado acima.

Resposta

integral0^inftydxx^3+1=2pi3raiz3

Exercícios relacionados