Em cada item a seguir, resolva o PVI e determine o maior intervalo em que a solução existe.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos o PVI da forma y'=1+x+y^2+y^2x com y(0)=0. Isso é uma equação diferencial de primeira ordem cujas variáveis podem ser separadas, e queremos a solução explícita e o maior intervalo em que ela existe.

Passo 2

Perceba que podemos fatorar o lado direito: y'=1+x+y^2(1+x)=(1+x)(1+y^2). Isso mostra que a equação é separável. Vamos escrever
dydx=(1+x)(1+y^2)Longrightarrow dy1+y^2=(1+x),dx

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integraldy1+y^2=integral(1+x),dxLongrightarrow arctan y = x + x^22 + C

Passo 4

Usando a condição inicial y(0)=0 temos arctan(0)=0, logo C=0. Assim
arctan y = x + x^22

Passo 5

Agora isolamos y:
y = tanl(x + x^22r)

Passo 6

Para determinar o maior intervalo de existência, lembramos que tantheta só é contínua se thetaneqpmpi2+kpi. Como nossa solução passa por x=0 onde x+x^2/2=0, o primeiro ponto de singularidade ocorre quando
x + x^22 = pmpi2

Passo 7

A desigualdade inferior
-pi2 < x + x^22
é sempre satisfeita (o polinômio x^2+2x+pi tem discriminante negativo). A desigualdade superior
x + x^22 < pi2
é equivalente a
x^2 + 2x - pi <0

Passo 8

As raízes dessa equação quadrática são
r1,2 = -1 pm raiz1+pi

Passo 9

Como o coeficiente de x^2 é positivo, a região onde o polinômio é negativo é
r1 < x < r2Longrightarrow -1-raiz1+pi < x < -1+raiz1+pi

Passo 10

Esse é o maior intervalo em que x + x^2/2 permanece em (-pi/2,pi/2), garantindo que y(x)=tan(x+x^2/2) seja bem definida e contínua.

Resposta

A solução do PVI é y(x)=tanl(x+tfracx^22r) e existe no maior intervalo -1-raiz1+pi

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