Em cada item a seguir, resolva o PVI e determine o maior intervalo em que a solução existe.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos o PVI da forma
com
. Isso é uma equação diferencial de primeira ordem cujas variáveis podem ser separadas, e queremos a solução explícita e o maior intervalo em que ela existe.
Passo 2
Perceba que podemos fatorar o lado direito:
. Isso mostra que a equação é separável. Vamos escrever
Passo 3
Integramos ambos os lados:
Passo 4
Usando a condição inicial
temos
, logo
. Assim
Passo 5
Agora isolamos
:
Passo 6
Para determinar o maior intervalo de existência, lembramos que
só é contínua se
. Como nossa solução passa por
onde
, o primeiro ponto de singularidade ocorre quando
Passo 7
A desigualdade inferior
é sempre satisfeita (o polinômio
é equivalente a
Passo 8
As raízes dessa equação quadrática são
Passo 9
Como o coeficiente de
é positivo, a região onde o polinômio é negativo é
Passo 10
Esse é o maior intervalo em que
permanece em
, garantindo que
seja bem definida e contínua.
Resposta
A solução do PVI é
e existe no maior intervalo