Calcule a área da região limitada pelo eixo
, pelas retas
e pela curva de equações paramétricas
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área de uma região que está limitada pelo eixo $ Ox $, pelas retas $ x = 1 $ e $ x = e $, e pela curva definida pelas equações paramétricas:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, mais especificamente de integrais definidas, para encontrar a área entre essas curvas e linhas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a relação entre $ x $ e $ t $ na equação paramétrica. Temos $ x = e^{2t} $. Para facilitar, vamos isolar $ t $ em termos de $ x $:
Agora, substituímos $ t $ na segunda equação para expressar $ y $ em função de $ x $:
Então, a equação da curva em termos de $ x $ é:
Passo 3
A área que queremos calcular está entre $ x = 1 $ e $ x = e $, e está limitada pelo eixo $ Ox $ (onde $ y = 0 $) e pela curva que acabamos de encontrar. Para encontrar essa área, vamos integrar a função $ y $ em relação a $ x $ nesse intervalo.
A fórmula da área $ A $ é:
Passo 4
Vamos resolver essa integral passo a passo. Primeiro, separamos a integral em duas partes:
A primeira integral é simples:
Passo 5
Agora, vamos resolver a segunda integral, $ \int (\ln x)^{2} , dx $. Para isso, usamos a técnica de integração por partes, onde escolhemos:
Calculando as derivadas e integrais necessárias:
Aplicando a fórmula de integração por partes $ \int u , dv = uv - \int v , du $:
Passo 6
Precisamos agora resolver $ \int \ln x , dx $. Usamos novamente integração por partes com:
Então:
Aplicando a fórmula:
Passo 7
Substituindo de volta na integral anterior:
Portanto, a área total é:
Passo 8
Agora, avaliamos essa expressão nos limites de $ x = 1 $ e $ x = e $.
Para $ x = e $:
Substituindo:
Para $ x = 1 $:
Substituindo:
Resposta
A área da região limitada é: