Calcule a área da região limitada pelo eixo Ox, pelas retas x=1, x=e e pela curva de equações paramétricas cx=e^2 t y=2+t^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área de uma região que está limitada pelo eixo $ Ox $, pelas retas $ x = 1 $ e $ x = e $, e pela curva definida pelas equações paramétricas:
Ox
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, mais especificamente de integrais definidas, para encontrar a área entre essas curvas e linhas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação entre $ x $ e $ t $ na equação paramétrica. Temos $ x = e^{2t} $. Para facilitar, vamos isolar $ t $ em termos de $ x $:
x
Agora, substituímos $ t $ na segunda equação para expressar $ y $ em função de $ x $:
t
Então, a equação da curva em termos de $ x $ é:
x = e^2t

Passo 3

A área que queremos calcular está entre $ x = 1 $ e $ x = e $, e está limitada pelo eixo $ Ox $ (onde $ y = 0 $) e pela curva que acabamos de encontrar. Para encontrar essa área, vamos integrar a função $ y $ em relação a $ x $ nesse intervalo.
A fórmula da área $ A $ é:
x = 1

Passo 4

Vamos resolver essa integral passo a passo. Primeiro, separamos a integral em duas partes:
A = integral1^e 2 , dx + 14 integral1^e (ln x)^2 , dx
A primeira integral é simples:
integral 2 , dx = 2x

Passo 5

Agora, vamos resolver a segunda integral, $ \int (\ln x)^{2} , dx $. Para isso, usamos a técnica de integração por partes, onde escolhemos:
integral (ln x)^2 , dx
Calculando as derivadas e integrais necessárias:
u = (ln x)^2 e dv = dx
Aplicando a fórmula de integração por partes $ \int u , dv = uv - \int v , du $:
du = 2 ln xx dx e v = x

Passo 6

Precisamos agora resolver $ \int \ln x , dx $. Usamos novamente integração por partes com:
integral ln x , dx
Então:
u = ln x e dv = dx
Aplicando a fórmula:
du = 1x dx e v = x

Passo 7

Substituindo de volta na integral anterior:
integral (ln x)^2 dx = x (ln x)^2 - 2 (x ln x - x) = x (ln x)^2 - 2x ln x + 2x
Portanto, a área total é:
A = [2x + 14 (x (ln x)^2 - 2x ln x + 2x)]1^e

Passo 8

Agora, avaliamos essa expressão nos limites de $ x = 1 $ e $ x = e $.
Para $ x = e $:
x = 1
Substituindo:
x = e
Para $ x = 1 $:
x = e
Substituindo:
ln e = 1

Resposta

A área da região limitada é:
A = 9e4 - 52 = 9e - 104

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