Um filtro passa-baixas não-ideal possui resposta ao impulso h(t)=e^-10 t u(t).
Trace o diagrama de Bode de magnitude desse filtro.

Passo 1

O enunciado pede que a gente desenhe o diagrama de Bode de magnitude de um filtro passa‐baixas cuja resposta ao impulso é h(t)=e^-10tu(t). O conteúdo envolvido é transformada de Fourier e análise de Bode, e vamos precisar obter H(jomega), achar sua magnitude e traçar as retas assintóticas em dB.

Passo 2

Para achar H(jomega) aplicamos a definição de transformada de Fourier de h(t). Como h(t)=e^-10tu(t), temos
H(jomega)=integral0^inftye^-10te^-jomega tdt =integral0^inftye^-(10+jomega)tdt =110+jomega

Passo 3

A magnitude de H(jomega) é
|H(jomega)|=1raiz10^2+omega^2

Passo 4

Para traçar o Bode em dB, convertemos:
20log10|H(jomega)|=20log10l(1raiz100+omega^2r) =-10log10(100+omega^2)

Passo 5

Agora fazemos a análise assintótica:
  • Para omegall10, 100+omega^2approx100, então
    20log10|H|approx-10log10(100)=-20,dB (reta horizontal).
  • Para omegagg10, 100+omega^2approxomega^2, então
    20log10|H|approx-10log10(omega^2)=-20log10omega (slope de -20 dB/dec).
    O ponto de quebra (frequência de canto) ocorre quando omega=10,rad/s.

Passo 6

Com isso, o diagrama de Bode de magnitude em retas é:
  • Até omega=10,rad/s: reta horizontal em -20 dB.
  • A partir de omega=10,rad/s: reta com declive -20 dB/decade partindo de -20 dB em omega=10.

Resposta

A magnitude em dB é
20log10|H(jomega)|=-10log10(100+omega^2)
Assíntotas: reta plana em -20 dB para omega<10,rad/s e declive de -20 dB/dec para omega>10,rad/s, com frequência de canto em omegac=10,rad/s.

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