Em cada item a seguir, resolva o PVI e determine o maior intervalo em que a solução existe.
ly^prime=3 x^23 y^2-4 y(1)=0

Passo 1

O problema é o PVI
y'=3x^23y^2-4, y(1)=0
Aqui o conteúdo é EDO de variáveis separáveis: vamos separar y e x, integrar e usar a condição inicial para determinar a constante de integração. Depois, para o intervalo de existência, observamos que o denominador se anula em y=pm2raiz3, criando singularidades.

Passo 2

Separamos as variáveis:
(3y^2-4),dy = 3x^2,dx
Agora integramos os dois lados:
integral(3y^2-4),dy = integral3x^2,dx ;Longrightarrow; y^3-4y = x^3 + C

Passo 3

Impondo y(1)=0, no lado esquerdo fica 0^3-4cdot0=0 e no direito 1^3+C=1+C. Logo
0 = 1 + C Longrightarrow C=-1
Assim a solução implícita é
y^3 -4y = x^3 -1

Passo 4

O denominador da EDO é zero quando 3y^2-4=0, isto é em
y = pm2raiz3
Como a solução contínua parte de y(1)=0, ela só existe enquanto |y(x)|<tfrac2raiz3. Esses valores de y correspondem, na relação implícita, a certos x. Para y=tfrac2raiz3 temos
l(tfrac2raiz3r)^3 -4l(tfrac2raiz3r) = x^3 -1 ;Longrightarrow; x^3 = 1 - 163raiz3,
e para y=-tfrac2raiz3
l(-tfrac2raiz3r)^3 -4l(-tfrac2raiz3r) = x^3 -1 ;Longrightarrow; x^3 = 1 + 163raiz3
Esses dois valores de x são os extremos do maior intervalo onde |y|<2/raiz3.

Resposta

A solução implícita é
y^3 -4y = x^3 -1
O maior intervalo em que ela existe (contendo x=1) é
gl(raiz[3],1 - 163raiz3,,,;raiz[3],1 + 163raiz3,gr)

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