Em cada item a seguir, resolva o PVI e determine o maior intervalo em que a solução existe.
Passo 1
O problema é o PVI
y'=3x^23y^2-4, y(1)=0
Aqui o conteúdo é EDO de variáveis separáveis: vamos separar y e x, integrar e usar a condição inicial para determinar a constante de integração. Depois, para o intervalo de existência, observamos que o denominador se anula em y=pm2raiz3, criando singularidades.
Passo 2
Separamos as variáveis:
(3y^2-4),dy = 3x^2,dx
Agora integramos os dois lados:
integral(3y^2-4),dy = integral3x^2,dx ;Longrightarrow; y^3-4y = x^3 + C
Passo 3
Impondo y(1)=0, no lado esquerdo fica 0^3-4cdot0=0 e no direito 1^3+C=1+C. Logo
0 = 1 + C Longrightarrow C=-1
Assim a solução implícita é
y^3 -4y = x^3 -1
Passo 4
O denominador da EDO é zero quando 3y^2-4=0, isto é em
y = pm2raiz3
Como a solução contínua parte de y(1)=0, ela só existe enquanto |y(x)|<tfrac2raiz3. Esses valores de y correspondem, na relação implícita, a certos x. Para y=tfrac2raiz3 temos