Determine as derivadas parciais de
f(x, y, z)=x-raizy^2+z^2

Passo 1

O enunciado nos dá a função de três variáveis
f(x,y,z)=x-raizy^2+z^2
e pede as derivadas parciais. O conteúdo principal aqui é derivada parcial e regra da cadeia: ao derivar em relação a uma variável, as demais são tratadas como constantes.

Passo 2

Para calcular partial fpartial x, observamos que o termo x depende de x e raizy^2+z^2 é constante em relação a x. Logo,
partial fpartial x =partialpartial xl(xr) -partialpartial xl(raizy^2+z^2r) =1-0 =1

Passo 3

Para partial fpartial y, usamos a regra da cadeia. Defina u(y,z)=y^2+z^2, então raizu tem derivada tfrac12raizu. Assim,
partial fpartial y =-partialpartial yl(raizur) =-12raizucdotpartial upartial y =-12raizy^2+z^2cdot 2y =-yraizy^2+z^2

Passo 4

O mesmo raciocínio vale para partial fpartial z. Mantendo u(y,z)=y^2+z^2,
partial fpartial z =-12raizucdotpartial upartial z =-12raizy^2+z^2cdot 2z =-zraizy^2+z^2

Resposta

partial fpartial x=1,
partial fpartial y=-yraizy^2+z^2,
partial fpartial z=-zraizy^2+z^2

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