Um fazendeiro deseja construir um cercado retangular ao longo de um rio, utilizando 200 metros de cerca. Como um dos lados do cercado será o próprio rio, a cerca será necessária apenas para os outros três lados.
Determine as dimensões do cercado que maximizam a área e encontre essa área máxima.
Justifique sua resposta utilizando derivadas.
Determine as dimensões do cercado que maximizam a área e encontre essa área máxima.
Justifique sua resposta utilizando derivadas.
Passo 1
Então, temos um fazendeiro que quer montar um cercado retangular ao lado de um rio. Ele vai usar 200 metros de cerca para fechar três lados, já que o rio já faz o quarto lado. Nosso objetivo aqui é descobrir qual deve ser as dimensões desse retângulo para que a área cercada seja a maior possível. Para resolver isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente derivadas, para encontrar o ponto onde a área é máxima.
Passo 2
Vamos chamar a largura do retângulo, que é perpendicular ao rio, de
metros. Como só precisamos cercar três lados (duas larguras e uma comprimento), o comprimento será
metros. Sabemos que o total de cerca é 200 metros, então podemos montar a equação:
Passo 3
Queremos expressar a área
do retângulo em função de uma única variável. A área é dada por:
Da equação anterior, podemos resolver para
:
Substituindo na fórmula da área:
Passo 4
Agora, para encontrar o valor de
que maximiza a área, vamos derivar
em relação a
e igualar a derivada a zero. A derivada de
é:
Igualando a zero para encontrar o ponto crítico:
Passo 5
Com
metros, vamos encontrar o valor de
:
Passo 6
Para confirmar que esse ponto realmente maximiza a área, podemos verificar a segunda derivada da função
:
Como a segunda derivada é negativa, isso indica que temos um ponto de máximo.
Resposta
As dimensões que maximizam a área são 50 metros de largura e 100 metros de comprimento, resultando em uma área máxima de
metros quadrados.