Um fazendeiro deseja construir um cercado retangular ao longo de um rio, utilizando 200 metros de cerca. Como um dos lados do cercado será o próprio rio, a cerca será necessária apenas para os outros três lados.
Determine as dimensões do cercado que maximizam a área e encontre essa área máxima.
Justifique sua resposta utilizando derivadas.

Passo 1

Então, temos um fazendeiro que quer montar um cercado retangular ao lado de um rio. Ele vai usar 200 metros de cerca para fechar três lados, já que o rio já faz o quarto lado. Nosso objetivo aqui é descobrir qual deve ser as dimensões desse retângulo para que a área cercada seja a maior possível. Para resolver isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente derivadas, para encontrar o ponto onde a área é máxima.

Passo 2

Vamos chamar a largura do retângulo, que é perpendicular ao rio, de x metros. Como só precisamos cercar três lados (duas larguras e uma comprimento), o comprimento será y metros. Sabemos que o total de cerca é 200 metros, então podemos montar a equação:
2x + y = 200

Passo 3

Queremos expressar a área A do retângulo em função de uma única variável. A área é dada por:
A = x times y
Da equação anterior, podemos resolver para y :
y = 200 - 2x
Substituindo na fórmula da área:
A = x times (200 - 2x)
A = 200x - 2x^2

Passo 4

Agora, para encontrar o valor de x que maximiza a área, vamos derivar A em relação a x e igualar a derivada a zero. A derivada de A é:
dAdx = 200 - 4x
Igualando a zero para encontrar o ponto crítico:
200 - 4x = 0
4x = 200
x = 50 , metros

Passo 5

Com x = 50 metros, vamos encontrar o valor de y :
y = 200 - 2x
y = 200 - 2 times 50
y = 100 , metros

Passo 6

Para confirmar que esse ponto realmente maximiza a área, podemos verificar a segunda derivada da função A :
d^2Adx^2 = -4
Como a segunda derivada é negativa, isso indica que temos um ponto de máximo.

Resposta

As dimensões que maximizam a área são 50 metros de largura e 100 metros de comprimento, resultando em uma área máxima de 50 times 100 = 5.000 metros quadrados.

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