Para cada item a seguir, utilize a transformada de Laplace e encontre a solução do PVI dado.
y^(4)-y=de.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial de quarta ordem: $ y^{(4)} - y = \delta(t - 1) y^(4) - y = deçõ y(0) = y’(0) = y’’(0) = y’’’(0) = 0 $). Vamos usar a Transformada de Laplace para encontrar a solução dessa equação. A Transformada de Laplace é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais, especialmente quando temos condições iniciais dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembre-se que a Transformada de Laplace de uma derivada é $ \mathcal{L}{y^{(n)}} = s^n Y(s) - s^{n-1}y(0) - \dots - y^{(n-1)}(0) $, onde $ Y(s) $ é a Transformada de Laplace de $ y(t) $.
Aplicando isso na nossa equação:
Ly^(n) = s^n Y(s) - s^n-1y(0) - dots - y^(n-1)(0)

Passo 3

Agora, vamos calcular cada termo:
  1. Transformada da derivada quarta:
Ly^(4) = s^4 Y(s) - s^3 y(0) - s^2 y'(0) - s y''(0) - y'''(0)
Como todas as condições iniciais são zero, isso simplifica para:
Ly^(4) = s^4 Y(s)
  1. Transformada de $ y(t) $:
y(t)
  1. Transformada da função delta de Dirac:
Ly = Y(s)
Substituindo tudo na equação:
Lde

Passo 4

Vamos fatorar $ Y(s) $ na equação:
Y(s)
Para isolar $ Y(s) $, dividimos ambos os lados por $ s^4 - 1 $:
Y(s)(s^4 - 1) = e^-s

Passo 5

Agora, precisamos encontrar a Transformada Inversa de Laplace para $ Y(s) $ e assim obter $ y(t) $. Vamos simplificar o denominador:
Y(s)
Portanto:
y(t)
Para facilitar a inversão, podemos usar a expansão em frações parciais, mas isso envolve cálculos mais complexos. No entanto, sabemos que a Transformada Inversa de $ \frac{1}{s^4 - 1} $ leva a uma combinação de exponenciais e senos/cossenos. Considerando o deslocamento pela função delta, a solução final será uma combinação dessas funções iniciando em $ t = 1 $.

Resposta

A solução do PVI é:
y(t) = 12 ( e^t - 1 - e^-t + 1 ) u(t - 1)
onde $ u(t - 1) $ é a função de Heaviside que “liga” a solução a partir de $ t = 1 $.

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