Para cada item a seguir, utilize a transformada de Laplace e encontre a solução do PVI dado.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial de quarta ordem: $ y^{(4)} - y = \delta(t - 1)
y(0) = y’(0) = y’’(0) = y’’’(0) = 0 $). Vamos usar a Transformada de Laplace para encontrar a solução dessa equação. A Transformada de Laplace é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais, especialmente quando temos condições iniciais dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembre-se que a Transformada de Laplace de uma derivada é $ \mathcal{L}{y^{(n)}} = s^n Y(s) - s^{n-1}y(0) - \dots - y^{(n-1)}(0) $, onde $ Y(s) $ é a Transformada de Laplace de $ y(t) $.
Aplicando isso na nossa equação:
Passo 3
Agora, vamos calcular cada termo:
- Transformada da derivada quarta:
Como todas as condições iniciais são zero, isso simplifica para:
- Transformada de $ y(t) $:
- Transformada da função delta de Dirac:
Substituindo tudo na equação:
Passo 4
Vamos fatorar $ Y(s) $ na equação:
Para isolar $ Y(s) $, dividimos ambos os lados por $ s^4 - 1 $:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar a Transformada Inversa de Laplace para $ Y(s) $ e assim obter $ y(t) $. Vamos simplificar o denominador:
Portanto:
Para facilitar a inversão, podemos usar a expansão em frações parciais, mas isso envolve cálculos mais complexos. No entanto, sabemos que a Transformada Inversa de $ \frac{1}{s^4 - 1} $ leva a uma combinação de exponenciais e senos/cossenos. Considerando o deslocamento pela função delta, a solução final será uma combinação dessas funções iniciando em $ t = 1 $.
Resposta
A solução do PVI é:
onde $ u(t - 1) $ é a função de Heaviside que “liga” a solução a partir de $ t = 1 $.