Usando as coordenadas esféricas, Calcule a integral tripla sobre a região R.
f(x, y, z)=1 / z^2 e R é o sólido limitado pelos o cone z=raizx^2+y^2 e as esferas x^2+y^2+z^2= 1 e x^2+y^2+z^2=4.

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral triplaR 1z^2,dV, onde R é o sólido entre as esferas rho=1 e rho=2 e acima do cone z=raizx^2+y^2. Vamos usar coordenadas esféricas para isso.

Passo 2

Em coordenadas esféricas temos x=rhosinphicostheta, y=rhosinphisintheta, z=rhocosphi e o elemento de volume dV=rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta. O cone z=raizx^2+y^2 vira rhocosphi=rhosinphi, ou seja phi=pi/4. Os limites são: 0<=theta<=2pi, 1<=rho<=2 e 0<=phi<=pi/4. A função 1/z^2 em esféricas fica 1/(rho^2cos^2phi). O integrando com Jacobiano é
1rho^2cos^2phi,rho^2sinphi = sinphicos^2phi,
Assim a integral se separa:
integral0^2pidtheta;integral1^2drho;integral0^pi/4sinphicos^2phi,dphi

Passo 3

O primeiro integral dá 2pi, o segundo dá 2-1=1. Sobrou
2pi integral0^pi/4sinphicos^2phi,dphi
Basta usar u=cosphi, du=-sinphi,dphi, obtendo
integral0^pi/4sinphicos^2phi,dphi = [1cosphi]0^pi/4 = 1cos(pi/4)-1cos0 = raiz2-1

Passo 4

Multiplicando por 2pi vem o resultado final.

Resposta

2\pi,(\sqrt{2}-1)

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