Para cada item a seguir, utilize a transformada de Laplace e encontre a solução do PVI dado.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Laplace. O enunciado nos dá a equação $ y’’ + 4y = u_{1}(t) - u_{3}(t) $ com as condições iniciais $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 0 $. Aqui, $ u_{a}(t) $ representa a função Degrau de Heaviside que ativa no tempo $ t = a $. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como aplicar a Transformada de Laplace em cada termo da equação e usar as propriedades das transformadas para lidar com as funções de degrau.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que a Transformada de Laplace de $ y’’ $ é $ s^2 Y(s) - s y(0) - y’(0) $ e a de $ y $ é simplesmente $ Y(s) $. Como $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 0 $, isso simplifica as coisas.
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos resolver para $ Y(s) $. Podemos fatorar $ Y(s) $ na esquerda:
Passo 4
Para encontrar $ y(t) $, precisamos calcular a Transformada de Laplace inversa de $ Y(s) $. Vamos lidar com cada termo separadamente. Lembrando que:
E para funções com deslocamento, usamos o teorema de deslocamento:
Passo 5
Aplicando a Transformada inversa em cada termo:
Passo 6
Juntando tudo, a solução geral $ y(t) $ é a diferença das duas partes encontradas:
Resposta
A solução do PVI é