Para cada item a seguir, utilize a transformada de Laplace e encontre a solução do PVI dado.
y^prime prime+4 y=u1(t)-u3(t) ; y(0)=y^prime(0)=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Laplace. O enunciado nos dá a equação $ y’’ + 4y = u_{1}(t) - u_{3}(t) $ com as condições iniciais $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 0 $. Aqui, $ u_{a}(t) $ representa a função Degrau de Heaviside que ativa no tempo $ t = a $. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como aplicar a Transformada de Laplace em cada termo da equação e usar as propriedades das transformadas para lidar com as funções de degrau.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que a Transformada de Laplace de $ y’’ $ é $ s^2 Y(s) - s y(0) - y’(0) $ e a de $ y $ é simplesmente $ Y(s) $. Como $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 0 $, isso simplifica as coisas.
Então, temos:
y''
s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)

Passo 3

Agora, vamos resolver para $ Y(s) $. Podemos fatorar $ Y(s) $ na esquerda:
Y(s)
Y(s)

Passo 4

Para encontrar $ y(t) $, precisamos calcular a Transformada de Laplace inversa de $ Y(s) $. Vamos lidar com cada termo separadamente. Lembrando que:
y(t)
E para funções com deslocamento, usamos o teorema de deslocamento:
Y(s)

Passo 5

Aplicando a Transformada inversa em cada termo:
L^-1e^-ss(s^2 + 4) = u1(t) cdot 1 - cos(2(t - 1))4
L^-1e^-3ss(s^2 + 4) = u3(t) cdot 1 - cos(2(t - 3))4

Passo 6

Juntando tudo, a solução geral $ y(t) $ é a diferença das duas partes encontradas:
y(t)

Resposta

A solução do PVI é
y(t) = 14 [ u1(t) (1 - cos(2(t - 1))) - u3(t) (1 - cos(2(t - 3))) ]

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