circ Esboce a região limitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a x ou a y. Então calcule a área da região.
d) y=1 / x, y=1 / x^2, x=2.

Passo 1

O enunciado pede o esboço e o cálculo da área da região limitada pelas curvas y=1/x, y=1/x^2 e pela reta vertical x=2. O conteúdo é cálculo de áreas entre curvas, em que vamos precisar achar onde as curvas se intersectam para determinar os limites de integração.

Passo 2

Para decidir a variável de integração, observe que ambas as curvas estão dadas como y em função de x e se intersectam em 1/x=1/x^2, o que leva a x=1. Assim, para x variando de 1 a 2, a curva superior é y=1/x e a inferior é y=1/x^2. Integrar em relação a x será mais simples.

Passo 3

Pelo método de áreas entre curvas, a área é dada por
A=integralx=1^2l(tfrac1x-tfrac1x^2r),dx
onde usamos a fórmula A=integral (ysuperior-yinferior),dx.

Passo 4

Para calcular a integral, note que
integral1x,dx=ln x, integral1x^2,dx=-1x
Logo,
[
A=\Bigl[\ln x+\frac1x\Bigr]_{1}^{2}
=\bigl(\ln2+\tfrac12\bigr)-\bigl(0+1\bigr)
=\ln2-\tfrac12.

Resposta

ln2 - tfrac12

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