Esboce a região limitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a
ou a
. Então calcule a área da região.
d)
.
d)
Passo 1
O enunciado pede o esboço e o cálculo da área da região limitada pelas curvas
,
e pela reta vertical
. O conteúdo é cálculo de áreas entre curvas, em que vamos precisar achar onde as curvas se intersectam para determinar os limites de integração.
Passo 2
Para decidir a variável de integração, observe que ambas as curvas estão dadas como
em função de
e se intersectam em
, o que leva a
. Assim, para
variando de 1 a 2, a curva superior é
e a inferior é
. Integrar em relação a
será mais simples.
Passo 3
Pelo método de áreas entre curvas, a área é dada por
onde usamos a fórmula
.
Passo 4
Para calcular a integral, note que
Logo,
[
A=\Bigl[\ln x+\frac1x\Bigr]_{1}^{2}
=\bigl(\ln2+\tfrac12\bigr)-\bigl(0+1\bigr)
=\ln2-\tfrac12.
A=\Bigl[\ln x+\frac1x\Bigr]_{1}^{2}
=\bigl(\ln2+\tfrac12\bigr)-\bigl(0+1\bigr)
=\ln2-\tfrac12.