Esboce a região limitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a 
  ou a 
 . Então calcule a área da região.
d) 
 .
d)
Passo 1
O enunciado pede o esboço e o cálculo da área da região limitada pelas curvas 
 , 
  e pela reta vertical 
 . O conteúdo é cálculo de áreas entre curvas, em que vamos precisar achar onde as curvas se intersectam para determinar os limites de integração.
Passo 2
Para decidir a variável de integração, observe que ambas as curvas estão dadas como 
  em função de 
  e se intersectam em 
 , o que leva a 
 . Assim, para 
  variando de 1 a 2, a curva superior é 
  e a inferior é 
 . Integrar em relação a 
  será mais simples.
Passo 3
Pelo método de áreas entre curvas, a área é dada por
onde usamos a fórmula 
 .
Passo 4
Para calcular a integral, note que
Logo,
[
A=\Bigl[\ln x+\frac1x\Bigr]_{1}^{2}
=\bigl(\ln2+\tfrac12\bigr)-\bigl(0+1\bigr)
=\ln2-\tfrac12.
A=\Bigl[\ln x+\frac1x\Bigr]_{1}^{2}
=\bigl(\ln2+\tfrac12\bigr)-\bigl(0+1\bigr)
=\ln2-\tfrac12.