Em cada item a seguir, verifique se a aplicação dada é um homomorfismo. Nos casos afirmativos, determine seu núcleo.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação
varphicolon RtoR definida por varphi(x)=3x é um homomorfismo de grupos abelianos (com a operação de adição). Se for, devemos também determinar o núcleo kervarphi.

Passo 2

Para ser homomorfismo de grupos abelianos sob adição, precisamos checar
varphi(x+y)=varphi(x)+varphi(y)
De fato,
varphi(x+y)=3,(x+y)=3x+3y=varphi(x)+varphi(y)
Logo varphi preserva a adição e é um homomorfismo.

Passo 3

O núcleo de varphi é o conjunto dos xinR tais que varphi(x)=0. Assim,
kervarphi=,xinRmid 3x=0=0

Resposta

varphi é homomorfismo de grupos abelianos e kervarphi=0

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