Em cada item a seguir, verifique se a aplicação dada é um homomorfismo. Nos casos afirmativos, determine seu núcleo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a função dada, chamada
, é um homomorfismo de grupos. Se for, também vamos descobrir qual é o seu núcleo. Para isso, vamos lembrar o que é um homomorfismo e como encontrar o núcleo de uma função entre grupos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um homomorfismo. Em matemática, mais especificamente em teoria dos grupos, um homomorfismo é uma função entre dois grupos que respeita a estrutura dos grupos. Isso significa que, se você tem dois elementos no primeiro grupo e os combina de uma certa forma, a imagem desses elementos no segundo grupo, quando combinados da mesma maneira, vai ser igual à imagem da combinação original.
No nosso caso, a função
vai de
para
. Ou seja, ela pega um número inteiro e mapeia para um par de inteiros. A função está definida por
. Vamos verificar se essa função respeita a estrutura dos grupos, que aqui é a adição de inteiros.
Passo 3
Para ser um homomorfismo, a função precisa satisfazer a condição:
Para quaisquer
. Vamos testar isso.
Calculando o lado esquerdo:
Agora, o lado direito:
Como os dois lados são iguais, a função
satisfaz a condição de homomorfismo.
Passo 4
Agora que confirmamos que
é um homomorfismo, vamos encontrar o seu núcleo. O núcleo de uma função homomorfa é o conjunto de todos os elementos do domínio que são mapeados para o elemento neutro do grupo de chegada. No caso de
, o elemento neutro é
.
Então, o núcleo de
é:
Vamos resolver isso:
Para que isso seja verdade, devemos ter
.
Resposta
Sim, a função
é um homomorfismo e o seu núcleo é
.