Em cada item a seguir, verifique se a aplicação dada é um homomorfismo. Nos casos afirmativos, determine seu núcleo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a função dada, chamada varphi, é um homomorfismo de grupos. Se for, também vamos descobrir qual é o seu núcleo. Para isso, vamos lembrar o que é um homomorfismo e como encontrar o núcleo de uma função entre grupos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um homomorfismo. Em matemática, mais especificamente em teoria dos grupos, um homomorfismo é uma função entre dois grupos que respeita a estrutura dos grupos. Isso significa que, se você tem dois elementos no primeiro grupo e os combina de uma certa forma, a imagem desses elementos no segundo grupo, quando combinados da mesma maneira, vai ser igual à imagem da combinação original.
No nosso caso, a função varphi vai de Z para Z times Z. Ou seja, ela pega um número inteiro e mapeia para um par de inteiros. A função está definida por varphi(x) = (x, 0). Vamos verificar se essa função respeita a estrutura dos grupos, que aqui é a adição de inteiros.

Passo 3

Para ser um homomorfismo, a função precisa satisfazer a condição:
varphi(a + b) = varphi(a) + varphi(b)
Para quaisquer a, b in Z. Vamos testar isso.
Calculando o lado esquerdo:
varphi(a + b) = (a + b, 0)
Agora, o lado direito:
varphi(a) + varphi(b) = (a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0 + 0) = (a + b, 0)
Como os dois lados são iguais, a função varphi satisfaz a condição de homomorfismo.

Passo 4

Agora que confirmamos que varphi é um homomorfismo, vamos encontrar o seu núcleo. O núcleo de uma função homomorfa é o conjunto de todos os elementos do domínio que são mapeados para o elemento neutro do grupo de chegada. No caso de Z times Z, o elemento neutro é (0, 0).
Então, o núcleo de varphi é:
Ker(varphi) = x in Z mid varphi(x) = (0, 0)
Vamos resolver isso:
varphi(x) = (x, 0) = (0, 0)
Para que isso seja verdade, devemos ter x = 0.

Resposta

Sim, a função varphi é um homomorfismo e o seu núcleo é Ker(varphi) = 0.

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