Para cada item a seguir, verifique se a transformação linear T: V2 V2 é injetora. Se for descreva a imagem, e ache a fórmula de T^-1.
T(x, y)=(x-y, x+y)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a transformação linear
Tcolon V2to V2, T(x,y)=(x-y,;x+y)
é injetora, e caso seja, descrever a imagem de T e encontrar a fórmula de T^-1. O conteúdo que vamos usar é núcleo e imagem de transformação linear, o teorema da dimensão (nulidade + posto = dimensão do domínio) e a resolução de um sistema 2times 2 para achar a inversa.

Passo 2

Para checar injetividade, calculamos o núcleo de
equivale ao sistema
Somando as duas equações obtemos . Substituindo em . Assim
o que implica que é injetora.

Passo 3

Como dim(V2)=2 e dim(ker T)=0, pelo teorema da dimensão (posto + nulidade =2) segue dim(ImT)=2. Como a imagem vive em V2 de dimensão 2, concluímos
ImT = V2

Passo 4

Para achar
Somando dá . Subtraindo a primeira da segunda dá , logo . Portanto

Resposta

T é injetora.
ImT = V2
T^-1(u,v) = l(tfracu+v2,;tfracv-u2r)

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