Para cada item a seguir, verifique se a transformação linear
é injetora. Se for descreva a imagem, e ache a fórmula de
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a transformação linear
é injetora, e caso seja, descrever a imagem de
e encontrar a fórmula de
. O conteúdo que vamos usar é núcleo e imagem de transformação linear, o teorema da dimensão (nulidade
posto
dimensão do domínio) e a resolução de um sistema
para achar a inversa.
Passo 2
Para checar injetividade, calculamos o núcleo de
equivale ao sistema
Somando as duas equações obtemos . Substituindo em
dá
. Assim
o que implica que
é injetora.
Passo 3
Como
e
, pelo teorema da dimensão (posto
nulidade
) segue
. Como a imagem vive em
de dimensão
, concluímos
Passo 4
Para achar
Somando dá . Subtraindo a primeira da segunda dá
, logo
. Portanto