Em cada item suponha que a matriz aumentada de um sistema foi transformada usando operações elementares na matriz escalonada reduzida dada. Resolva o sistema correspondente.
\left[\begin{array}{rrrrrr}1 & -6 & 0 & 0 & 3 & -2 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 4 & 7 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 5 & 8 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado fornece a forma escalonada reduzida de uma matriz aumentada de um sistema linear com cinco incógnitas (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}). Nosso objetivo é ler essa matriz, escrever o sistema correspondente e encontrar todas as soluções usando conceitos de pivôs, variáveis livres e parametrização.

Passo 2

A matriz escalonada reduzida corresponde ao sistema
\begin{cases} x_{1} \;-\; 6\,x_{2} \;+\;0\,x_{3}\;+\;0\,x_{4}\;+\;3\,x_{5} = -2,\\\\ 0\,x_{1} \;+\;0\,x_{2} \;+\;1\,x_{3}\;+\;0\,x_{4}\;+\;4\,x_{5} = 7,\\\\ 0\,x_{1} \;+\;0\,x_{2} \;+\;0\,x_{3}\;+\;1\,x_{4}\;+\;5\,x_{5} = 8,\\\\ 0 = 0. \end{cases}
Aqui aparecem pivôs nas colunas 1, 3 e 4, e não há equação na última linha.

Passo 3

As variáveis correspondentes às colunas sem pivô são livres. São elas x_{2} e x_{5}. Para parametrizar, definimos
x_{2} = s,\quad x_{5} = t,
onde s e t são parâmetros reais.

Passo 4

Agora expressamos as variáveis pivô em função de s e t:
Da primeira equação,
x_{1} -6s +3t = -2 \quad\Longrightarrow\quad x_{1} = 6s -3t -2.
Da segunda equação,
x_{3} +4t = 7 \quad\Longrightarrow\quad x_{3} = 7 -4t.
Da terceira equação,
x_{4} +5t = 8 \quad\Longrightarrow\quad x_{4} = 8 -5t.

Resposta

A família de soluções é dada por
\begin{aligned} x_{1} &= 6s -3t -2,\\\ x_{2} &= s,\\\ x_{3} &= 7 -4t,\\\ x_{4} &= 8 -5t,\\\ x_{5} &= t, \end{aligned}
com s,t\in\mathbb{R}. Equivalently, em forma vetorial:
(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}) = (-2,0,7,8,0) + s\,(6,1,0,0,0) + t\,(-3,0,-4,-5,1).

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