Seja V um espaço vetorial de dimensão 3. Seja B=\left\{e_{1}, e_{2}, e_{3}\right\} uma base de V. Sendo F o operador linear de V tal que F\left(e_{1}\right)=e_{2} e que deixa fixos todos os vetores de
W=\left\{x e_{1}+y e_{2}+z e_{3} \mid x-y+z=0\right\}
determinar [F]_{B}.

Passo 1

O enunciado fala de um espaço vetorial V de dimensão 3 com base B=\{e_{1},e_{2},e_{3}\}. O operador linear F satisfaz
  1. F(e_{1})=e_{2},
  2. F(v)=v para todo v\in W, onde
W=\{\,x e_{1}+y e_{2}+z e_{3}\mid x-y+z=0\}.
Para achar a matriz [F]_{B}, basta calcular as imagens de e_{1},e_{2},e_{3} e expressá-las na base B.

Passo 2

Já sabemos que
F(e_{1})=e_{2}.
Na base B, o primeiro vetor coluna de [F]_{B} é o vetor de coordenadas de F(e_{1}), ou seja
\bigl[\,F(e_{1})\bigr]_{B}=(0,1,0)^{T}.

Passo 3

Para achar F(e_{2}), escrevemos
e_{2}=v+\alpha\,e_{1}
com v\in W. Como v=x e_{1}+y e_{2}+z e_{3} deve satisfazer x-y+z=0, e queremos v=e_{2}-\alpha e_{1}, os coeficientes são x=-\alpha, y=1, z=0. Esses dados na equação x-y+z=0 dão
-\alpha-1+0=0\implies\alpha=-1.

Passo 4

Com \alpha=-1 temos v=e_{2}-(-1)e_{1}=e_{1}+e_{2}\in W. Então
F(e_{2})=F(v+\alpha e_{1})=F(v)+\alpha\,F(e_{1}) =v+(-1)\,e_{2}=(e_{1}+e_{2})-e_{2}=e_{1}.
Logo \bigl[\,F(e_{2})\bigr]_{B}=(1,0,0)^{T}.

Passo 5

Para e_{3} repetimos: escrevemos
e_{3}=w+\beta\,e_{1},
onde w=e_{3}-\beta e_{1}\in W. Os coeficientes são x=-\beta, y=0, z=1 e a condição x-y+z=0 vira
-\beta-0+1=0\implies\beta=1.
Então w=e_{3}-e_{1} e
F(e_{3})=F(w+\beta e_{1})=F(w)+F(e_{1}) =w+e_{2}=(e_{3}-e_{1})+e_{2}=-e_{1}+e_{2}+e_{3}.
Logo \bigl[\,F(e_{3})\bigr]_{B}=(-1,1,1)^{T}.

Resposta

Juntando as colunas, a matriz de F na base B é
[F]_{B} =\begin{pmatrix} 0 & 1 & -1\\\\ 1 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

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