Item 2) Considere os pontos A=(3,-4,4), B=(4,0,5), C=(4,4,7).
(a) Determine a área do triângulo A B C : \square
(b) Determine o ponto Q da reta A B tal que: a medida do segmento C Q é a altura do triângulo A B C relativa à base A B.
Q=(\square)

Passo 1

Temos os pontos A=(3,-4,4), B=(4,0,5) e C=(4,4,7). O problema pede duas coisas: (a) a área do triângulo ABC em \mathbb{R}^3, que vamos obter pelo produto vetorial entre \vec{AB} e \vec{AC}; e (b) o ponto Q sobre a reta AB que é o pé da perpendicular de C em AB, ou seja, a projeção ortogonal de C em AB.

Passo 2

Primeiro, determinamos os vetores
\vec{AB} = B - A = (4-3,\;0-(-4),\;5-4) = (1,4,1),
\vec{AC} = C - A = (4-3,\;4-(-4),\;7-4) = (1,8,3).

Passo 3

A área do triângulo ABC é
\text{Area} = \frac12 \bigl\|\vec{AB}\times\vec{AC}\bigr\|.
Calculamos o produto vetorial:
\vec{AB}\times\vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 1 & 4 & 1\\\\ 1 & 8 & 3 \end{vmatrix} = (4\cdot3 - 1\cdot8)\,\mathbf{i} - (1\cdot3 - 1\cdot1)\,\mathbf{j} + (1\cdot8 - 4\cdot1)\,\mathbf{k} = (4,-2,4).
A magnitude é
\bigl\|(4,-2,4)\bigr\| = \sqrt{4^2 + (-2)^2 + 4^2} = \sqrt{16+4+16} = 6,
logo
\text{Area} = \frac12 \times 6 = 3.

Passo 4

Para achar Q, o pé da perpendicular de C na reta AB, usamos a projeção de \vec{AC} em \vec{AB}:
t = \frac{\vec{AC}\cdot\vec{AB}}{\|\vec{AB}\|^2} = \frac{(1,8,3)\cdot(1,4,1)}{1^2+4^2+1^2} = \frac{1+32+3}{18} = \frac{36}{18} = 2.
Então
Q = A + t\,\vec{AB} = (3,-4,4) + 2\,(1,4,1) = (3+2,\,-4+8,\;4+2) = (5,4,6).

Resposta

(a) 3
(b) Q=(5,4,6)

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