Os sistemas lineares seguintes possuem a mesma matriz A. Resolva-os usando o método de GaussJordan. Observe que os dois sistemas podem ser resolvidos ao mesmo tempo escalonando a matriz aumentada (a) \(\left[\begin{array}{lllll}1 & 2 & 3 & 1 & 8 \\\\ 1 & 3 & 0 & 1 & 7 \\\\ 1 & 0 & 2 & 1 & 3\end{array}\right];
(b) \left[\begin{array}{rrrrr}1 & 1 & 3 & -3 & 0 \\\\ 0 & 2 & 1 & -3 & 3 \\\\ 1 & 0 & 2 & -1 & -1\end{array}\right];
(c) \left[\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 0 \\\\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\\ 1 & 1 & 2 & 0 \\\\ 1 & 3 & 3 & 0\end{array}\right]😉

Passo 1

Temos a mesma matriz de coeficientes
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1\\\\ 1 & 3 & 0 & 1\\\\ 1 & 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}
e queremos resolver os sistemas
A x = b^{(a)},\quad b^{(a)} = \begin{pmatrix}8\\\ 7\\\ 3\end{pmatrix}, \quad A x = b^{(b)},\quad b^{(b)} = \begin{pmatrix}0\\\ 3\\\ -1\end{pmatrix}
usando Gauss–Jordan simultaneamente, e depois resolver o sistema homogêneo do item (c)
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 1 & 2\\\\ 1 & 3 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 2

Formamos a matriz aumentada com as duas colunas de termos independentes lado a lado:
[A\mid b^{(a)}\mid b^{(b)}] = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 & 8 & 0\\\\ 1 & 3 & 0 & 1 & 7 & 3\\\\ 1 & 0 & 2 & 1 & 3 & -1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Eliminamos abaixo do pivô da coluna 1 fazendo
R_2\to R_2 - R_1,\quad R_3\to R_3 - R_1,
obtendo
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 & 8 & 0\\\\ 0 & 1 & -3 & 0 & -1 & 3\\\\ 0 & -2 & -1 & 0 & -5 & -1 \end{pmatrix}.

Passo 4

Usamos o pivô da coluna 2 em R_2 e eliminamos em R_1 e R_3:
R_1\to R_1 - 2\,R_2,\quad R_3\to R_3 + 2\,R_2,
ficando
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 9 & 1 & 10 & -6\\\\ 0 & 1 & -3 & 0 & -1 & 3\\\\ 0 & 0 & -7 & 0 & -7 & 5 \end{pmatrix}.

Passo 5

Normalizamos o pivô da coluna 3 em R_3 e eliminamos acima:
R_3\to -\tfrac{1}{7}R_3,\quad R_1\to R_1 - 9\,R_3,\quad R_2\to R_2 + 3\,R_3,
chegando à forma reduzida
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & \tfrac{3}{7}\\\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & \tfrac{6}{7}\\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -\tfrac{5}{7} \end{pmatrix}.
Denotando x_4=t livre, obtemos:
para o sistema (a)
x_1 + x_4 = 1,\quad x_2=2,\quad x_3=1 \;\Longrightarrow\; x_1=1-t,\;x_2=2,\;x_3=1,\;x_4=t,
e para o sistema (b)
x_1 + x_4 = \tfrac{3}{7},\quad x_2=\tfrac{6}{7},\quad x_3=-\tfrac{5}{7} \;\Longrightarrow\; x_1=\tfrac{3}{7}-t,\;x_2=\tfrac{6}{7},\;x_3=-\tfrac{5}{7},\;x_4=t.

Passo 6

Para o item (c) montamos
\bigl[A_{\rm \text{(c)}}\mid0\bigr] = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 0\\\\ 1 & 1 & 1 & 0\\\\ 1 & 1 & 2 & 0\\\\ 1 & 3 & 3 & 0 \end{pmatrix}
e aplicamos Gauss–Jordan. O escalonamento leva a x_1=x_2=x_3=0 e uma linha nula, de modo que a única solução é a trivial.

Resposta

(a) x_1=1-t,\\ x_2=2,\\ x_3=1,\\ x_4=t,\\ t\in\mathbb R.
(b) x_1=\tfrac{3}{7}-t,\\ x_2=\tfrac{6}{7},\\ x_3=-\tfrac{5}{7},\\ x_4=t,\\ t\in\mathbb R.
(c) x_1=x_2=x_3=0 (única solução).

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