Em cada item, supor que a matriz aumentada (ou ampliada) do sistema tenha sido reduzida por operações elementares sobre linhas às seguintes formas escalonadas (algumas reduzidas). Resolver os sistemas:
\left[\begin{array}{cccc:c}1 & 0 & 0 & 3 & 2 \\\\ 0 & 1 & 0 & -1 & 4 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado fornece a matriz aumentada já escalonada (algumas vezes reduzida):
\left[\begin{array}{cccc:c} 1 & 0 & 0 & 3 & 2 \\\\ 0 & 1 & 0 & -1 & 4 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 2 \end{array}\right]
Precisamos resolver o sistema linear correspondente. Informações relevantes extraídas da matriz:
  • As colunas antes do sinal dois-pontos correspondem às incógnitas; como há quatro colunas, nomearemos as incógnitas por x_1,x_2,x_3,x_4\). - A última coluna (após o dois-pontos) fornece os termos independentes: \(2,4,2\). - A matriz representa o seguinte sistema de equações (peguei estes coeficientes diretamente da matriz acima): \[\begin{cases} x_1 + 3x_4 = 2,\\[4pt] x_2 - x_4 = 4,\\[4pt] x_3 + x_4 = 2. \end{cases}
  • Observação numérica: há 3\] equações e \(4 incógnitas, então é provável que haja uma variável livre (infinitas soluções parametrizadas), mas vamos confirmar e resolver.]

Passo 2

Entendendo a forma escalonada e os pivôs (aula rápida e prática):
  • Um “pivô” é uma posição com o 1 que lidera a linha e que permite isolar uma variável. Na matriz dada, há pivôs nas colunas 1,2,3 (os primeiros três 1’s de cada linha). Isso significa que x_1,x_2,x_3 são variáveis básicas que podemos escrever em função das outras.
  • A coluna 4 NÃO tem pivô: a variável x_4 é livre. Uma variável livre pode assumir qualquer valor real; então parametrizamos essa liberdade com um parâmetro (costuma-se usar t ou \lambda).
  • Escolha do parâmetro: defina \,t\in\mathbb{R} e ponha \,x_4=t. Essa escolha faz com que as outras incógnitas sejam expressas em função de t.

Passo 3

Resolver as equações isolando as variáveis básicas (passo a passo, sem pular etapas):
A partir do sistema listado em Passo 1,
  1. Da primeira equação \,x_1 + 3x_4 = 2. Substituindo x_4=t,
x_1 = 2 - 3x_4 = 2 - 3t.
Expliquei: isolei x_1 subtraindo 3x_4 de ambos os lados.
  1. Da segunda equação \,x_2 - x_4 = 4. Substituindo x_4=t,
x_2 = 4 + x_4 = 4 + t.
Expliquei: somei x_4 aos dois lados para deixar x_2 sozinho.
  1. Da terceira equação \,x_3 + x_4 = 2. Substituindo x_4=t,
x_3 = 2 - x_4 = 2 - t.
Expliquei: isolei x_3 subtraindo x_4 de ambos os lados.
Resumo das expressões obtidas:
x_1 = 2 - 3t,\qquad x_2 = 4 + t,\qquad x_3 = 2 - t,\qquad x_4 = t,\quad t\in\mathbb{R}.

Passo 4

Interpretação final e forma vetorial (uma forma útil para lembrar na prova):
  • O sistema tem infinitas soluções parametrizadas por t.
  • Podemos escrever a solução em forma vetorial como soma de uma solução particular e do múltiplo do vetor que gera a família:
\begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\x_4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\\ 4\\\ 2\\\ 0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}-3\\\ 1\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix},\qquad t\in\mathbb{R}.
Explicação rápida: basta separar os termos constantes e os que multiplicam t.

Resposta

x_1=2-3t
x_2=4+t
x_3=2-t
x_4=t,\;t\in\mathbb{R}

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