Em cada item, supor que a matriz aumentada (ou ampliada) do sistema tenha sido reduzida por operações elementares sobre linhas às seguintes formas escalonadas (algumas reduzidas). Resolver os sistemas: \left[\begin{array}{ccc:c}1 & 2 & -4 & 2 \\\\ 0 & 1 & -2 & -1 \\\\ 0 & 0 & 1 & 2\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema linear cuja matriz aumentada, já reduzida a forma escalonada, é
Informações dadas que vou usar (cada linha representa uma equação):
Primeira linha corresponde à equação \;1\cdot x + 2\cdot y -4\cdot z = 2.
Segunda linha corresponde à equação \;0\cdot x + 1\cdot y -2\cdot z = -1.
Terceira linha corresponde à equação \;0\cdot x + 0\cdot y +1\cdot z = 2.
O que é pedido: encontrar os valores das incógnitas \;x,\;y,\;z que satisfazem o sistema.
Passo 2
Explicando a estratégia (de forma bem didática): quando a matriz aumentada está em forma escalonada superior (como aqui, com uma coluna pivô em cada linha descendente), o método mais simples é a substituição regressiva (back-substitution). Isso significa:
Resolver primeiro a última equação para a última incógnita (aqui \;z), porque essa equação envolve apenas \;z.
Em seguida, usar o valor de \;z para resolver a equação anterior e achar \;y.
Finalmente, usar \;y e \;z para resolver a primeira equação e achar \;x.
Vou explicar cada passo da substituição com cuidado, mostrando as contas.
Passo 3
Resolver a terceira equação (a mais simples). A terceira linha dá
1\cdot z = 2.
Isso significa que a incógnita \;z vale
z = 2.
Comentário didático: aqui o coeficiente de \;z é \;1, então basta ler o valor à direita da barra para obter \;z.
Passo 4
Agora usar \;z=2 na segunda equação. A segunda linha dá
y - 2z = -1.
Substituindo \;z=2 obtemos
y - 2\cdot 2 = -1.
Calculemos passo a passo:
y - 4 = -1.
Somando \;4 aos dois lados:
y = -1 + 4.
Portanto
y = 3.
Comentário didático: fiz uma operação simples de transposição (somar \;4 a ambos os lados) para isolar \;y.
Passo 5
Agora usar \;y=3 e \;z=2 na primeira equação. A primeira linha dá
x + 2y - 4z = 2.
Substituindo os valores:
x + 2\cdot 3 - 4\cdot 2 = 2.
Calcule as multiplicações:
x + 6 - 8 = 2.
Simplifique 6-8:
x - 2 = 2.
Isolando \;x somando \;2 aos dois lados:
x = 2 + 2.
Portanto
x = 4.
Passo 6
Verificação rápida (boa prática em provas): substituir \;x=4,\;y=3,\;z=2 em cada equação original para confirmar.
Como todas as equações conferem, a solução está correta.
Passo 7
Interpretação final: a matriz aumentada tinha pivôs nas colunas correspondentes a \;x,\;y,\;z, portanto o sistema é compatível determinado (tem exatamente uma solução). Já encontramos essa solução.