Discutir e resolver cada um deles pela eliminação de Gauss-Jordan. \left\{\begin{array}{c}2 x-3 y=-2 \\\\ 2 x+y=1 \\\\ 3 x+2 y=1\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema de 3\) equações e \(2\) incógnitas e pede que se discuta e resolva por eliminação de Gauss–Jordan:
\[\begin{cases} 2x-3y=-2,\\[4pt] 2x+y=1,\\[4pt] 3x+2y=1. \end{cases}
Informações importantes extraídas do enunciado:
As incógnitas são x\] e \(y.
Há mais equações (3) do que incógnitas (2), então o sistema pode ser consistente (com solução única) ou inconsistente (sem solução). Precisamos verificar isso com Gauss–Jordan.]
Passo 2
Breve explicação do método Gauss–Jordan (sem pular etapas):
Representa-se o sistema por uma matriz aumentada, que junta a matriz dos coeficientes com a coluna dos termos independentes.
Usam‑se operações elementares sobre linhas que não mudam o conjunto de soluções:
trocar duas linhas;
multiplicar uma linha por um número não nulo;
somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
O objetivo do Gauss–Jordan é transformar a matriz aumentada numa forma reduzida por linhas (cada pivô igual a 1 e zeros em toda a coluna do pivô), o que torna explícita a solução ou mostra uma contradição como 0=\,c com c\neq0.
Vou aplicar operações que mantenham inteiros quando possível para facilitar a leitura, explicando cada passo aritmético.
Passo 3
Formo a matriz aumentada do sistema (cada linha: coeficiente de x, coeficiente de y, termo independente):
Interpretação do resultado obtido: a terceira linha corresponde à equação
0\cdot x + 0\cdot y = -7,
ou seja,
0 = -7,
que é uma contradição impossível. Quando, no processo de eliminação, aparece uma linha com todos os coeficientes nulos e termo independente diferente de zero, isso sinaliza que o sistema é inconsistente (não admitem solução).
Passo 7
Para reforçar a intuição: as duas primeiras equações formam um par que tem interseção. Se resolveremos só as duas primeiras, por exemplo:
Da segunda equação (2x+y=1) e da primeira (2x-3y=-2), subtraindo obtemos -4y=-3\Rightarrow y=\tfrac{3}{4}.
Substituindo em 2x+y=1 vem 2x+ \tfrac{3}{4}=1\Rightarrow 2x=\tfrac{1}{4}\Rightarrow x=\tfrac{1}{8}.
Então as duas primeiras têm solução \bigl(\tfrac{1}{8},\tfrac{3}{4}\bigr). Mas essa solução não satisfaz a terceira equação, já que