Considere os sistemas abaixo:
Discutir e resolver cada um deles pela eliminação de Gauss-Jordan.
\left\{\begin{array}{c}2 x-3 y=-2 \\\\ 2 x+y=1 \\\\ 3 x+2 y=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema de 3\) equações e \(2\) incógnitas e pede que se discuta e resolva por eliminação de Gauss–Jordan: \[\begin{cases} 2x-3y=-2,\\[4pt] 2x+y=1,\\[4pt] 3x+2y=1. \end{cases}
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • As incógnitas são x\] e \(y.
  • Há mais equações ( 3) do que incógnitas ( 2), então o sistema pode ser consistente (com solução única) ou inconsistente (sem solução). Precisamos verificar isso com Gauss–Jordan.]

Passo 2

Breve explicação do método Gauss–Jordan (sem pular etapas):
  • Representa-se o sistema por uma matriz aumentada, que junta a matriz dos coeficientes com a coluna dos termos independentes.
  • Usam‑se operações elementares sobre linhas que não mudam o conjunto de soluções:
    1. trocar duas linhas;
    2. multiplicar uma linha por um número não nulo;
    3. somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
  • O objetivo do Gauss–Jordan é transformar a matriz aumentada numa forma reduzida por linhas (cada pivô igual a 1 e zeros em toda a coluna do pivô), o que torna explícita a solução ou mostra uma contradição como 0=\,c com c\neq0.
  • Vou aplicar operações que mantenham inteiros quando possível para facilitar a leitura, explicando cada passo aritmético.

Passo 3

Formo a matriz aumentada do sistema (cada linha: coeficiente de x, coeficiente de y, termo independente):
\left[\begin{array}{cc|c} 2 & -3 & -2\\[4pt] 2 & 1 & 1\\[4pt] 3 & 2 & 1 \end{array}\right].]

Passo 4

Eliminação do termo em x nas linhas 2 e 3 usando a linha 1.
Primeira operação: R_2 \leftarrow R_2 - R_1 (substitui a linha 2 pela diferença com a linha 1):
  • Cálculo: (2,\,1,\,1) - (2,\,-3,\,-2) = (0,\,4,\,3).
Para a linha 3, para evitar frações uso uma combinação inteira: R_3 \leftarrow 2R_3 - 3R_1.
  • Cálculo: 2\cdot(3,\,2,\,1) - 3\cdot(2,\,-3,\,-2) = (6,\,4,\,2) - (6,\,-9,\,-6)=(0,\,13,\,8).
Após essas operações a matriz fica:
\left[\begin{array}{cc|c} 2 & -3 & -2\\[4pt] 0 & 4 & 3\\[4pt] 0 & 13 & 8 \end{array}\right].]

Passo 5

Agora quero eliminar o coeficiente de y na linha 3 usando a linha 2. A linha 2 é (0,4,3) e a linha 3 é (0,13,8).
Para manter inteiros faço: R_3 \leftarrow 4R_3 - 13R_2.
  • Cálculo: 4\cdot(0,13,8) - 13\cdot(0,4,3) = (0,52,32) - (0,52,39) = (0,0,-7).
A matriz passa a ser:
\left[\begin{array}{cc|c} 2 & -3 & -2\\[4pt] 0 & 4 & 3\\[4pt] 0 & 0 & -7 \end{array}\right].]

Passo 6

Interpretação do resultado obtido: a terceira linha corresponde à equação
0\cdot x + 0\cdot y = -7,
ou seja,
0 = -7,
que é uma contradição impossível. Quando, no processo de eliminação, aparece uma linha com todos os coeficientes nulos e termo independente diferente de zero, isso sinaliza que o sistema é inconsistente (não admitem solução).

Passo 7

Para reforçar a intuição: as duas primeiras equações formam um par que tem interseção. Se resolveremos só as duas primeiras, por exemplo:
  • Da segunda equação (2x+y=1) e da primeira (2x-3y=-2), subtraindo obtemos -4y=-3\Rightarrow y=\tfrac{3}{4}.
  • Substituindo em 2x+y=1 vem 2x+ \tfrac{3}{4}=1\Rightarrow 2x=\tfrac{1}{4}\Rightarrow x=\tfrac{1}{8}.
    Então as duas primeiras têm solução \bigl(\tfrac{1}{8},\tfrac{3}{4}\bigr). Mas essa solução não satisfaz a terceira equação, já que
3\cdot\frac{1}{8}+2\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{8}+\frac{3}{2}=\frac{15}{8}\neq 1.
Isso confirma que a terceira equação contradiz as duas primeiras: não existe (x,y) que satisfaça todas as três simultaneamente.

Resposta

O sistema é inconsistente (impossível): não existe solução.

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