Em cada item, tente resolver as integral iterada diretamente e veja que a primeira integral é muito difícil. Após isso, faça a troca de ordem e resolva a integral iterada. Sugestão. Use o exercício P4.
(a)
.
(b)
.
(c)
.
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado pede para calcular três integrais iteradas do tipo
observando que a integração interna é intratável diretamente, e em seguida aplicar a troca de ordem de integração (Teorema de Fubini) para obter uma forma que se resolva em “tiro curto”. Vamos, em cada caso,
- Identificar a região de integração
. - Inverter a ordem e escrever a integral em
ou . - Calcular a integral resultante.
Passo 2
Integral (a):
Se tentássemos direto, falharíamos ao integrar
. Definimos
Invertendo a ordem,
varia de
a
e, para cada
,
vai de
a
. Logo
Fazemos
,
, assim
Passo 3
Integral (b):
Se tentássemos direto, teríamos que integrar
em
, o que é impraticável. A região
inverte-se para
de
a
e
de
a
. Então
Agora usamos integração por partes:
,
⇒
,
.
Passo 4
Integral (c):
A parte interna em
é inacessível diretamente. A região
é equivalente a
de
a
e
de
a
. Assim
Fazemos
,
, logo
e, quando
,
;
,
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)