Em cada item, tente resolver as integral iterada diretamente e veja que a primeira integral é muito difícil. Após isso, faça a troca de ordem e resolva a integral iterada. Sugestão. Use o exercício P4.
(a) integral0^1 integral3 y^3 e^x^2 d x d y.
(b) integral0^1 integralx^2^1 raizy sen(pi y) d y d x.
(c) integral0^1 integralraizx^1 raizy^3+1 d y d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular três integrais iteradas do tipo
integral0^1!integralg1(x)^g2(x) f(x,y),dy,dx
observando que a integração interna é intratável diretamente, e em seguida aplicar a troca de ordem de integração (Teorema de Fubini) para obter uma forma que se resolva em “tiro curto”. Vamos, em cada caso,
  1. Identificar a região de integração D.
  2. Inverter a ordem e escrever a integral em dx,dy ou dy,dx.
  3. Calcular a integral resultante.

Passo 2

Integral (a):
integral0^1!integral3y^3 e^x^2,dx,dy
Se tentássemos direto, falharíamos ao integrar e^x^2. Definimos
D=(x,y)mid 0<= y<=1,;3y<= x<=3
Invertendo a ordem, x varia de 0 a 3 e, para cada x, y vai de 0 a x/3. Logo
integral0^1!integral3y^3 e^x^2,dx,dy =integralx=0^3!integraly=0^x/3 e^x^2,dy,dx =integral0^3 l[yr]0^x/3 e^x^2,dx =integral0^3 x3,e^x^2,dx
Fazemos u=x^2, du=2x,dx, assim
integral0^3 x3 e^x^2,dx =13cdot12integralu=0^9 e^u,du =16l[e^ur]0^9 =e^9-16

Passo 3

Integral (b):
integral0^1!integralx^2^1 raizy,sen(pi y),dy,dx
Se tentássemos direto, teríamos que integrar raiz ysen(pi y) em y, o que é impraticável. A região
D=(x,y)mid 0<= x<=1,;x^2<= y<=1
inverte-se para y de 0 a 1 e x de 0 a raiz y. Então
integral0^1!integralx^2^1raizy,sen(pi y),dy,dx =integraly=0^1!integralx=0^raiz yraizy,sen(pi y),dx,dy =integral0^1raizy,sen(pi y),l[;x;r]0^raiz y,dy =integral0^1y,sen(pi y),dy
Agora usamos integração por partes: u=y, dv=sen(pi y),dy du=dy, v=-tfrac1picos(pi y).
integral0^1y,sen(pi y),dy =l[-ypicos(pi y)r]0^1 +1piintegral0^1cos(pi y),dy =-1picos(pi)+1picdot1pil[sin(pi y)r]0^1 =1pi

Passo 4

Integral (c):
integral0^1!integralraizx^1 raizy^3+1,dy,dx
A parte interna em y é inacessível diretamente. A região
D=(x,y)mid 0<= x<=1,;raizx<= y<=1
é equivalente a y de 0 a 1 e x de 0 a y^2. Assim
integral0^1!integralraizx^1raizy^3+1,dy,dx =integraly=0^1!integralx=0^y^2raizy^3+1,dx,dy =integral0^1raizy^3+1,l[xr]0^y^2,dy =integral0^1y^2raizy^3+1,dy
Fazemos u=y^3+1, du=3y^2dy, logo y^2dy=tfrac13du e, quando y=0, u=1; y=1, u=2.
integral0^1y^2raizy^3+1,dy =13integral1^2u^1/2,du =13cdot23l[u^3/2r]1^2 =29l(2^3/2-1r) =29l(2raiz2-1r)

Resposta

(a) e^9-16
(b) 1pi
(c) 29l(2raiz2-1r)

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