Em cada item, transforme o problema de valor inicial dado em um problema equivalente com ponto inicial na origem.
(a) d yd t=t^2+y^2, y(1)=2.

Passo 1

O enunciado pede para transformar um problema de valor inicial do tipo dydt=t^2+y^2 com condição y(1)=2 num PVI equivalente cujo ponto inicial seja na origem. O conteúdo envolve mudança de variável para deslocar o ponto inicial.

Passo 2

Para deslocar o ponto inicial (t0,y0)=(1,2) para a origem, definimos as variáveis tau e z(tau) por
tau = t - 1,
z(tau) = y(t) - 2
Dessa forma, temos t=tau+1 e y=z+2.

Passo 3

Agora aplicamos essas mudanças na derivada. Como dtau/dt=1, segue
dzdtau = dydt = t^2 + y^2
Substituindo t=tau+1 e y=z+2, obtemos
dzdtau = (tau+1)^2 + (z+2)^2

Passo 4

Por fim, a condição inicial y(1)=2 vira
tau=0;Rightarrow;z(0)=y(1)-2=0
Assim, o novo PVI tem ponto inicial na origem.

Resposta

O PVI equivalente é
dzdtau = (tau + 1)^2 + (z + 2)^2, z(0)=0

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