(a) Mostre que y(t)=c1 e^omega(t-a)+c2 e^omega(t-a), para a in R fixo, é solução geral da equação diferencial.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função y(t)=c1e^omega(t-a)+c2e^-omega(t-a) é a solução geral da equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes. O conteúdo é EDO linear homogênea y''-omega^2y=0, e vamos precisar: (i) calcular derivadas de y(t), (ii) verificar que satisfaz a EDO e (iii) usar o fato de que duas soluções independentes geram a solução geral.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas de y(t). Como y(t)=c1e^omega(t-a)+c2e^-omega(t-a), temos em bloco a primeira e segunda derivadas:
y'(t)=c1,omega e^omega(t-a)-c2,omega e^-omega(t-a),
y''(t)=c1,omega^2e^omega(t-a)+c2,omega^2e^-omega(t-a)

Passo 3

Agora substituímos em y''-omega^2y:
y''(t)-omega^2y(t)=l(c1omega^2e^omega(t-a)+c2omega^2e^-omega(t-a)r)-omega^2l(c1e^omega(t-a)+c2e^-omega(t-a)r)=0

Passo 4

Assim, y(t) satisfaz a EDO. Para ver que é solução geral, observamos que as funções e^omega(t-a) e e^-omega(t-a) são duas soluções linearmente independentes da equação homogênea. Pela teoria de EDOs lineares de segunda ordem, sua combinação linear arbitrária cobre todas as soluções possíveis.

Resposta

A solução geral da equação y''-omega^2y=0 é y(t)=c1e^omega(t-a)+c2e^-omega(t-a), com c1,c2 constantes arbitrárias.

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