(a) Mostre que
, para
fixo, é solução geral da equação diferencial.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
é a solução geral da equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes. O conteúdo é EDO linear homogênea
, e vamos precisar: (i) calcular derivadas de
, (ii) verificar que satisfaz a EDO e (iii) usar o fato de que duas soluções independentes geram a solução geral.
Passo 2
Vamos calcular as derivadas de
. Como
, temos em bloco a primeira e segunda derivadas:
Passo 3
Agora substituímos em
:
Passo 4
Assim,
satisfaz a EDO. Para ver que é solução geral, observamos que as funções
e
são duas soluções linearmente independentes da equação homogênea. Pela teoria de EDOs lineares de segunda ordem, sua combinação linear arbitrária cobre todas as soluções possíveis.
Resposta
A solução geral da equação
é
, com
constantes arbitrárias.