Se a e h são reais, determine e simplifique f(a), f(-a),-f(a), f(a+h), f(a)+f(h), f(a+h)-f(a)h para cada função abaixo:
f(x)=raizx

Passo 1

O enunciado pede para, dada a função f(x)=raizx e números reais a e h, calcular e simplificar as expressões f(a), f(-a), -f(a), f(a+h), f(a)+f(h) e o quociente f(a+h)-f(a)h. Vamos usar a definição de raiz quadrada e, no caso do quociente, a técnica de racionalização.

Passo 2

Aplicando diretamente a definição de f em a, em -a e ainda pegando o oposto de f(a):
f(a)=raiza
f(-a)=raiz-a (lembre que isso só faz sentido se -a>=0, ou seja, a<=0).
-f(a)=-raiza.

Passo 3

Calculando f(a+h) usando a definição:
f(a+h)=raiza+h, com a condição de domínio a+h>=0.

Passo 4

Somando f(a) com f(h):
f(a)+f(h)=raiza+raizh, exigindo h>=0 para que f(h) faça sentido.

Passo 5

Para o quociente diferencial, começa-se pela definição:
f(a+h)-f(a)h=raiza+h-raizah
Em seguida, racionalizamos multiplicando numerador e denominador por raiza+h+raiza:
raiza+h-raizahcdotraiza+h+raizaraiza+h+raiza =(a+h)-ahl(raiza+h+raizar) =hhl(raiza+h+raizar) =1raiza+h+raiza,
válido para hneq0 e a+h>=0.

Resposta

f(a)=raiza, f(-a)=raiz-a, -f(a)=-raiza, f(a+h)=raiza+h, f(a)+f(h)=raiza+raizh, f(a+h)-f(a)h=1raiza+h+raiza

Exercícios relacionados