Em cada item, use derivação implícita para determinar as derivadas parciais de z em relação a x e y.
(b) e^z=x y z.
C11
Em cada item, verifique que a função z é solução da equação diferencial parcial.
(a) partial zpartial y=alpha^2 partial^2 zpartial x^2, z=e^-alpha^2 k^2 y sen(k x), em que k, alpha in R.

Passo 1

Vamos resolver duas tarefas: (i) encontrar partial zpartial x e partial zpartial y usando derivação implícita para a equação e^z=x y z; (ii) verificar que z(x,y)=e^-alpha^2k^2ysin(kx) satisfaz o PDE partial zpartial y=alpha^2partial^2zpartial x^2. Usaremos regra da cadeia, derivadas parciais e diferenciação de exponenciais e funções trigonométricas.

Passo 2

Derivando em relação a x a equação e^z=x y z obtemos
ddx(e^z)=ddx(xy z)
pelo que
e^zpartial zpartial x=y z + x y partial zpartial x
Isolando partial zpartial x fica
(e^z-xy)partial zpartial x=y z
partial zpartial x=y ze^z-xy

Passo 3

Derivando agora em relação a y a mesma equação:
e^zpartial zpartial y=x z + x y partial zpartial y
que leva a
(e^z-xy)partial zpartial y=x z
partial zpartial y=x ze^z-xy

Passo 4

Para verificar o PDE, considere
z(x,y)=e^-alpha^2k^2ysin(kx)
Calculamos primeiro
partial zpartial y=-alpha^2k^2e^-alpha^2k^2ysin(kx)

Passo 5

Em seguida,
partial zpartial x=k e^-alpha^2k^2ycos(kx),
então
partial^2zpartial x^2=-k^2e^-alpha^2k^2ysin(kx)
Multiplicando por alpha^2:
alpha^2partial^2zpartial x^2=-alpha^2k^2e^-alpha^2k^2ysin(kx)

Passo 6

Observamos que
partial zpartial y=-alpha^2k^2e^-alpha^2k^2ysin(kx)=alpha^2partial^2zpartial x^2,
logo z satisfaz o PDE proposto.

Resposta

As derivadas parciais para e^z=xyz são
z(x,y)=e^-alpha^2k^2ysin(kx)
partial zpartial y=alpha^2partial^2zpartial x^2
E para z verificamos que , portanto é solução do PDE.

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