Considere a função f(x, y)=x^2+2 x y-3 y^2 e a parametrização x(u, v)=u^2-v^2 e y(u, v)=u v.
(d) Calcule partial f / partial u e partial f / partial v a partir do item anterior.

Passo 1

Neste problema temos f(x,y)=x^2+2xy-3y^2 e a parametrização x(u,v)=u^2-v^2, y(u,v)=uv. O conteúdo aqui é cálculo multivariável, mais especificamente a regra da cadeia, e vamos precisar de partial fpartial x, partial fpartial y, partial xpartial u, partial xpartial v, partial ypartial u e partial ypartial v.

Passo 2

Calcular partial fpartial x e partial fpartial y a partir de f(x,y)=x^2+2xy-3y^2.
partial fpartial x=2x+2y
partial fpartial y=2x-6y

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de x e y em relação a u e v a partir de x=u^2-v^2 e y=uv.
partial xpartial u=2u, partial xpartial v=-2v
partial ypartial u=v, partial ypartial v=u

Passo 4

Aplicar a regra da cadeia para partial fpartial u=partial fpartial xpartial xpartial u+partial fpartial ypartial ypartial u e substituir as derivadas calculadas. Substituindo x=u^2-v^2 e y=uv e simplificando, obtemos:
partial fpartial u=4u^3+6u^2v-10uv^2-2v^3

Passo 5

Repetir o procedimento para partial fpartial v=partial fpartial xpartial xpartial v+partial fpartial ypartial ypartial v. Substituindo e simplificando, resulta em:
partial fpartial v=2u^3-10u^2v-6uv^2+4v^3

Resposta

As derivadas parciais são partial fpartial u=4u^3+6u^2v-10uv^2-2v^3 e partial fpartial v=2u^3-10u^2v-6uv^2+4v^3.

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