Em cada item, use a mudança de variáveis sugerida para calcular a integral dupla.
(a)
integral duplaR(2 x+y) d A, em que R é o paralelogramo de vértices (-1,3),(1,-3),(3,-1) e (1,5), com a mudança de variáveis x=-1+2 u+2 v e y=3+2 u-6 v.
(b)
integral duplaR x^2 d A, em que R é a região limitada pela elipse x^22^2+y^23^2=1, com a mudança de variáveis
x=2 u e y=3 v.

Passo 1

O enunciado pede duas integrais duplas usando mudanças de variáveis. Em (a) calculamos
integral duplaR(2x+y),dA
num paralelogramo R via
x=-1+2u+2v, y=3+2u-6v
Em (b) calculamos
integral duplaRx^2,dA
na região interior à elipse x^22^2+y^23^2=1 via
x=2u, y=3v
Para ambas vamos: 1) identificar a região em (u,v), 2) achar o jacobiano, 3) reescrever a integral e 4) avaliar.

Passo 2

(a) Identificamos os vértices de R quando (u,v) varia em [0,1]times[0,1]:
(0,0)to(-1,3), (1,0)to(1,5), (1,1)to(3,-1), (0,1)to(1,-3).
Logo a região em (u,v) é o quadrado Scolon 0<= u<=1, 0<= v<=1.

Passo 3

Calculamos o jacobiano
J=det partial xpartial u&partial xpartial v[6pt] partial ypartial u&partial ypartial v =det2&22&-6 =-16,
portanto lvert Jrvert=16. Em seguida expressamos
2x+y=2(-1+2u+2v)+(3+2u-6v)=1+6u-2v
Assim a integral vira
integral duplaR(2x+y),dA =integral duplaS(1+6u-2v)cdot16,du,dv ]

Passo 4

Avaliamo-la em S=[0,1]^2:
integral0^1!!integral0^1(16+96u-32v),dv,du =integral0^1l[16v+96u,v-16v^2r]v=0^1du =integral0^196u,du =96cdot12 =48

Passo 5

(b) A elipse tfracx^24+tfracy^29=1 torna-se u^2+v^2=1 sob
x=2u, y=3v,
logo a região S em (u,v) é o disco u^2+v^2<=1. O jacobiano é
J=det2&00&3=6
Além disso x^2=4u^2, logo o integrando e a área viram
x^2,dA=4u^2cdot6,du,dv=24u^2,du,dv

Passo 6

Usamos coordenadas polares em (u,v): u=rcostheta, v=rsintheta, du,dv=r,dr,dtheta. Então
integral duplaS24u^2,du,dv =24integral0^2pi!integral0^1(r^2cos^2theta),r,dr,dtheta =24l(integral0^2picos^2theta,dthetar)l(integral0^1r^3drr)
Sabendo integral0^2picos^2theta,dtheta=pi e integral0^1r^3dr=tfrac14, resulta
24cdotpicdottfrac14 =6pi

Resposta

(a) 48
(b) 6pi

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