Em cada item, use a mudança de variáveis sugerida para calcular a integral tripla. , em que é a região limitada pelo elipsoide , com a mudança de variáveis e .
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde é o elipsoide
e sugere a mudança de variáveis
O conteúdo principal é usar essa troca para transformar no sólido mais simples e ajustar a diferencial de volume via o Jacobiano.
Passo 2
Pela mudança de variáveis temos
e o Jacobiano vale
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dV =24,du,dv,dw
Além disso, a região R vira a bola unitária u^2+v^2+w^2<=1. Substituindo, a integral original fica
integral triplaRz^2,dV = integral triplau^2+v^2+w^2<=116,w^2cdot24;du,dv,dw =384;integral triplau^2+v^2+w^2<=1w^2,du,dv,dw
Passo 3
Para calcular integral triplau^2+v^2+w^2<=1w^2,dU
vocês podem usar simetria: em uma bola,
integral triplaB w^2,dU =13,integral triplaBl(u^2+v^2+w^2r),dU =13,integral triplaB r^2,dU
integral triplaB r^2,dU =integral0^1integral0^piintegral0^2pir^2l(r^2sinthetar),dphi,dtheta,dr =l(integral0^1r^4drr)l(integral0^pisintheta,dthetar)l(integral0^2pidphir)