Em cada item, use a mudança de variáveis sugerida para calcular a integral tripla.
integral triplaR z^2 d V, em que R é a região limitada pelo elipsoide x^22^2+y^23^2+z^24^2=1, com a mudança de variáveis x=2 u, y=3 v e z=4 w.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral triplaR z^2,dV
onde R é o elipsoide
x^22^2+y^23^2+z^24^2=1,
e sugere a mudança de variáveis
x=2u, y=3v, z=4w
O conteúdo principal é usar essa troca para transformar R no sólido mais simples
(u,v,w)mid u^2+v^2+w^2<=1 e ajustar a diferencial de volume via o Jacobiano.

Passo 2

Pela mudança de variáveis temos
z^2=(4w)^2=16,w^2,
e o Jacobiano vale
l|det D(x,y,z)/D(u,v,w)r|=2cdot3cdot4=24,
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dV =24,du,dv,dw
Além disso, a região R vira a bola unitária
u^2+v^2+w^2<=1. Substituindo, a integral original fica
integral triplaRz^2,dV = integral triplau^2+v^2+w^2<=116,w^2cdot24;du,dv,dw =384;integral triplau^2+v^2+w^2<=1w^2,du,dv,dw

Passo 3

Para calcular
integral triplau^2+v^2+w^2<=1w^2,dU
vocês podem usar simetria: em uma bola,
integral triplaB w^2,dU =13,integral triplaBl(u^2+v^2+w^2r),dU =13,integral triplaB r^2,dU

Passo 4

Agora passamos a coordenadas esféricas
u=rsinthetacosphi, v=rsinthetasinphi, w=rcostheta,
com 0<= r<=1, 0<=theta<=pi, 0<=phi<=2pi. Assim
integral triplaB r^2,dU =integral0^1integral0^piintegral0^2pir^2l(r^2sinthetar),dphi,dtheta,dr =l(integral0^1r^4drr)l(integral0^pisintheta,dthetar)l(integral0^2pidphir)
Calculando cada parte:
integral0^1r^4dr=15, integral0^pisintheta,dtheta=2, integral0^2pidphi=2pi,
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integral triplaB r^2,dU=15cdot2cdot2pi=4pi5,
e assim
integral triplaB w^2,dU =13,4pi5 =4pi15

Passo 5

Voltando à integral inicial, multiplicamos pelo fator externo 384:
integral triplaRz^2,dV =384;4pi15 =1536pi15 =512pi5

Resposta

512pi5

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