Determine o comprimento da curva y=23 x^32 no intervalo [1,4].

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva
y = 23x^3/2
no intervalo [1,4]. O conteúdo é comprimento de arco de uma função y=f(x). Para resolver, vamos usar a fórmula
L = integrala^b raiz1 + l(f'(x)r)^2,dx

Passo 2

Precisamos da derivada de y. Como
y = 23x^3/2,
temos
y' = 23cdot32x^1/2 = x^1/2

Passo 3

Substituindo na fórmula do comprimento, o integrando fica
raiz1 + l(y'r)^2 = raiz1 + x
Logo
L = integral1^4 raiz1+x,dx

Passo 4

Vamos achar uma antiderivada de raizx+1. Note que
integral raizx+1,dx = integral (x+1)^1/2,dx = 23(x+1)^3/2 + C

Passo 5

Agora avaliamos de x=1 a x=4:
L = [23(x+1)^3/2]1^4 = 23l(5^3/2-2^3/2r) = 23l(5raiz5-2raiz2r)

Resposta

L = 23l(5raiz5 - 2raiz2r)

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