A barra indica que os algarismos se repetem indefinidamente. Expresse a decimal periódica como uma série e ache o número racional que ela representa.
Passo 1
O enunciado pede para converter a decimal periódica 5,146 em uma série infinita e depois encontrar sua representação na forma de fração (número racional). Vamos usar conceitos de série geométrica para isso.
Passo 2
Primeiro, separamos a parte inteira e a parte decimal. A parte inteira é 5 e a parte decimal é 0146.
Escrevemos a parte decimal como uma soma infinita. Cada repetição de 146 ocupa três casas decimais, então:
[
0.\overline{146} = 146\cdot10^{-3} + 146\cdot10^{-6} + 146\cdot10^{-9} + \cdots = \sum_{k=1}{\infty}146\cdot10{-3k}
]
Passo 3
Aplicamos a fórmula da soma de uma série geométrica infinita, que diz que se uma série tem primeiro termo a e razão r com |r|<1, então
[
\sum_{k=1}{\infty}ar{k} = \frac{ar}{1-r}
]
Aqui, a=146 e r=10^-3, então o primeiro termo efetivo é a,r = 146cdot10^-3.
Calculamos a soma da parte decimal:
[
\sum_{k=1}{\infty}146\cdot10{-3k} = \frac{146\cdot10{-3}}{1-10{-3}} = \frac{146/1000}{999/1000} = \frac{146}{999}
]
Passo 4
Finalmente, adicionamos a parte inteira 5 à fração obtida:
[
5 + \frac{146}{999} = \frac{5\cdot999 +146}{999} = \frac{5141}{999}
]