Em cada item, determine as derivadas parciais de segunda ordem da função
. Sugestão. Utilize o exercício
(a)
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar as derivadas parciais de segunda ordem da função
. Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais. Vamos precisar saber como calcular derivadas de funções de duas variáveis e aplicar as regras de derivação.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial em relação a
, que é
. Para isso, tratamos
como uma constante.
A função é
.
Usando a regra do quociente:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a segunda derivada parcial em relação a
, que é
. Isso significa que vamos derivar
em relação a
.
Temos:
Aplicando a regra do quociente novamente:
Passo 4
Vamos agora calcular a primeira derivada parcial em relação a
, que é
. Para isso, tratamos
como uma constante.
A função é
.
Aplicando a regra do quociente:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a segunda derivada parcial em relação a
, que é
. Isso significa que vamos derivar
em relação a
.
Temos:
Aplicando a regra do quociente:
Passo 6
Por fim, vamos calcular a derivada mista
e
. Essas derivadas devem ser iguais se a função for suficientemente suave, o que é o caso aqui.
Primeiro, derivamos
em relação a
:
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem da função
são: