Em cada item, determine as derivadas parciais de segunda ordem da função f. Sugestão. Utilize o exercício P 1
(a) f(x, y)=y2 x+3 y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar as derivadas parciais de segunda ordem da função . Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais. Vamos precisar saber como calcular derivadas de funções de duas variáveis e aplicar as regras de derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial em relação a fx = 0 cdot (2x + 3y) - y cdot 2(2x + 3y)^2 = -2y(2x + 3y)^2 , que é . Para isso, tratamos como uma constante.
A função é .
Usando a regra do quociente:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada parcial em relação a fx = -2y(2x + 3y)^2 , que é fxx = 0 cdot (2x + 3y)^2 - (-2y) cdot 2(2x + 3y) cdot 2(2x + 3y)^4 = 8y(2x + 3y)(2x + 3y)^4 = 8y(2x + 3y)^3 . Isso significa que vamos derivar em relação a .
Temos:
Aplicando a regra do quociente novamente:

Passo 4

Vamos agora calcular a primeira derivada parcial em relação a fy = (2x + 3y) cdot 1 - y cdot 3(2x + 3y)^2 = 2x + 3y - 3y(2x + 3y)^2 = 2x(2x + 3y)^2 , que é . Para isso, tratamos como uma constante.
A função é .
Aplicando a regra do quociente:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a segunda derivada parcial em relação a fy = 2x(2x + 3y)^2 , que é fyy = 0 cdot (2x + 3y)^2 - 2x cdot 2(2x + 3y) cdot 3(2x + 3y)^4 = -12x(2x + 3y)(2x + 3y)^4 = -12x(2x + 3y)^3 . Isso significa que vamos derivar em relação a .
Temos:
Aplicando a regra do quociente:

Passo 6

Por fim, vamos calcular a derivada mista fx = -2y(2x + 3y)^2 e fxy = -2(2x + 3y)^2 - (-2y) cdot 2(2x + 3y) cdot 3(2x + 3y)^4 = -2(2x + 3y) + 12y(2x + 3y)^3 = -4x -6y +12y(2x + 3y)^3 = -4x +6y(2x + 3y)^3 . Essas derivadas devem ser iguais se a função for suficientemente suave, o que é o caso aqui.
Primeiro, derivamos em relação a :

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem da função fxx = 8y(2x + 3y)^3 são:
fyy = -12x(2x + 3y)^3
fxy = fyx = -4x + 6y(2x + 3y)^3

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