Em cada item, use a regra da cadeia para calcular d f / d t (escreva a resposta mantendo as variáveis originais, não é necessário substituir tudo em termos de t ).
© f(x, y, z)=x e^y / z, x(t)=t^2, y(t)=1-t, z(t)=1+2 t.
C8
Considere a função f(x, y)=x^2+2 x y-3 y^2 e a parametrização x(u, v)=u^2-v^2 e y(u, v)=u v.
(a) Calcule as derivadas parciais de f.

Passo 1

O enunciado apresenta dois problemas: (1) usar a regra da cadeia para calcular df/dt de f(x,y,z)=x e^y/z com x(t)=t^2, y(t)=1-t, z(t)=1+2t; (2) calcular as derivadas parciais de f(x,y)=x^2+2xy-3y^2.

Passo 2

Para o item de regra da cadeia, primeiro obtemos as derivadas parciais de f em relação a x,y,z e as derivadas das funções paramétricas:
partial fpartial x=e^yz, partial fpartial y=xze^yz, partial fpartial z=-x yz^2e^yz
dxdt=2t, dydt=-1, dzdt=2
Aplicando a regra da cadeia:
dfdt=partial fpartial xdxdt+partial fpartial ydydt+partial fpartial zdzdt

Passo 3

Substituindo as derivadas parciais e paramétricas na fórmula acima, chega-se a:
dfdt=2t e^y/z-xze^y/z-2xyz^2e^y/z

Passo 4

Para as derivadas parciais de f(x,y)=x^2+2xy-3y^2, usamos as regras de potência e produto:
partial fpartial x=2x+2y,
partial fpartial y=2x-6y

Resposta

© dfracdfdt=2t e^y/z-dfracxze^y/z-dfrac2xyz^2e^y/z
(a) dfracpartial fpartial x=2x+2y, dfracpartial fpartial y=2x-6y

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