Encontre a soma da série.
sumn=1^infty(-5)^n-1 4^-n

Passo 1

Ok, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A gente precisa encontrar a soma da série infinita . Isso está relacionado ao estudo de progressões geométricas, que são séries onde cada termo é uma constante multiplicada pelo termo anterior. Para resolver isso, vamos usar a fórmula da soma de uma progressão geométrica infinita.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a série que temos:
sumn=1^infty (-5)^n-1 4^-n
Vamos simplificar os termos para identificar a razão da progressão geométrica. Podemos reescrever (-5)^n-1 times 14^n = (-5)^n-1 times (14)^n como:
Isso pode ser simplificado ainda mais para encontrar uma razão comum.

Passo 3

Vamos reescrever a expressão para facilitar a identificação da razão (-5)^n-1 times (14)^n = (-5)^n-1 times 14^n = (-5)^n-14^n :
(-5)^n-14^n = (-5)^n-14^n-1 times 4 = 14 times (-54)^n-1
Podemos separar os termos da seguinte forma:
sumn=1^infty 14 times (-54)^n-1
Agora, a série fica:

Passo 4

Agora que temos a série na forma S = a1 - r , onde r = -54 Rightarrow |r| = 54 > 1 e , podemos usar a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
Mas atenção! Essa fórmula só funciona se . Vamos verificar o valor de :

Passo 5

Como , a série não converge. Isso significa que a soma da série é infinita e não existe um valor finito para .

Resposta

A série não converge porque a razão é maior que 1. Portanto, a soma da série é infinita.

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