Considere a função f(x)=raiz2 x^4(2 x^2-4 x+2)(x-2)(x^2-1).

Informações:

  • f^prime(x)=-2 x(x-1)(x+4)(x-2)^2(x+1)^2 raizx^2-2 x+1
  • f^prime prime(x)=4 raizx^2-2 x+1(x^3+6 x^2+4)(x-2)^3(x-1)(x+1)^3
    © Obtenha as assíntotas verticais e as horizontais, caso existam.
    Nota:

Passo 1

A questão pede para achar as assíntotas verticais e horizontais da função
f(x)=raiz2 x^4(2 x^2-4 x+2)(x-2)(x^2-1)
O conteúdo principal é o estudo de pontos de descontinuidade (zeros do denominador) e comportamento em xtopminfty. Vamos precisar simplificar a expressão usando propriedades de raízes e valor absoluto, identificar onde o denominador zera e ver se há cancelamentos, e então calcular limites adequados.

Passo 2

Primeiro identifique os zeros do denominador: x-2=0 x=2, e x^2-1=(x-1)(x+1)=0 x=1 e x=-1. Esses são candidatos a descontinuidades.

Passo 3

Observe a raiz no numerador:
2 x^4(2 x^2-4 x+2)=4 x^4(x-1)^2,
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raiz4 x^4(x-1)^2=2,|x^2(x-1)|=2 x^2,|x-1|
Assim
f(x)=2 x^2,|x-1|(x-2)(x-1)(x+1)

Passo 4

Note que o fator |x-1| permite cancelar (x-1) com o denominador, mas só removível (buraco) em x=1. De fato, para x>1 temos |x-1|=x-1 e para x<1 temos |x-1|=1-x, em ambos os casos o (x-1) se cancela sem gerar assíntota.

Passo 5

Portanto em x=1 há apenas uma descontinuidade removível (buraco), não assíntota. Já em x=-1 e x=2 o numerador não zera, então são assíntotas verticais. Podemos concluir:
Assíntotas verticais: x=-1 e x=2.

Passo 6

Para assíntotas horizontais, calcule o limite para xto+infty e xto-infty. Observando que o grau do numerador dentro da raiz dá comportamento dominante sim x^3, encontramos:
limxto+inftyf(x)=2,
limxto-inftyf(x)=-2
Isso gera duas assíntotas horizontais distintas: y=2 para +infty e y=-2 para -infty.

Resposta

Assíntotas verticais: x=-1 e x=2.
Assíntotas horizontais: y=2 (x→+∞) e y=-2 (x→-∞).

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