Em cada item, use a regra da cadeia para calcular ∂ f / ∂ u e ∂ f / ∂ v (escreva a resposta mantendo as variáveis originais, não é necessário substituir tudo em termos de u e v ).
f(x, y)=\ln (3 x+2 y), x(u, v)=u \operatorname{sen} v, y(u, v)=v \cos u.

Passo 1

O enunciado dá
f(x,y)=\ln(3x+2y),
x(u,v)=u\operatorname{sen} v e
y(u,v)=v\cos u,
e pede \partial f/\partial u e \partial f/\partial v pela regra da cadeia.

Passo 2

Calcular primeiro as derivadas parciais de f em relação a x e y. Como
f(x,y)=\ln(3x+2y),
temos
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{3}{3x+2y}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y} =\frac{2}{3x+2y}.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de x e y em relação a u:
\frac{\partial x}{\partial u} =\sin v, \qquad \frac{\partial y}{\partial u} =\frac{\partial}{\partial u}(v\cos u) =-\,v\sin u.
Agora usar a regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial u} =\frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial u} +\frac{\partial f}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial u} =\frac{3\sin v + 2(-v\sin u)}{3x+2y} =\frac{3\sin v - 2v\sin u}{3x+2y}.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de x e y em relação a v:
\frac{\partial x}{\partial v} =\frac{\partial}{\partial v}(u\operatorname{sen} v) =u\cos v, \qquad \frac{\partial y}{\partial v} =\frac{\partial}{\partial v}(v\cos u) =\cos u.
Aplicando a regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial v} =\frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial v} +\frac{\partial f}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial v} =\frac{3\,u\cos v + 2\cos u}{3x+2y}.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial u} =\frac{3\sin v - 2v\sin u}{3x+2y}, \qquad \frac{\partial f}{\partial v} =\frac{3\,u\cos v + 2\cos u}{3x+2y}.

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