(a) Use derivação para encontrar a representação em série de potências para
  1. Se o raio de convergência da série de potências \sum_{n=0}^{\infty} c_{n} x^{n} for 10 , qual é o raio de convergência da série \sum_{n=1}^{\infty} n c_{n} x^{n-1} ? Por quê?
  2. Suponha que você saiba que a série \sum_{n=0}^{\infty} b_{n} x^{n} converge para |x|<2. O que você pode dizer sobre a série a seguir? Por quê?
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{b_{n}}{n+1} x^{n+1}
Qual é o raio de convergência?
(b) Use o item (a) para encontrar uma série de potências para
f(x)=\frac{1}{(1+x)^{3}}
(c) Use item (b) para achar uma série de potências para
f(x)=\frac{x^{2}}{(1+x)^{3}}

Passo 1

O enunciado tem três partes. No item (a) pedem para usar derivação e integração termo a termo para determinar raios de convergência de séries relacionadas a \sum c_n x^n e \sum b_n x^n. No item (b) usam o item (a) para achar a série de potências de \frac1{(1+x)^3}. No item (c) multiplicam a série de (b) por x^2 para obter a série de \frac{x^2}{(1+x)^3}. Sabemos que derivação e integração termo a termo preservam o raio de convergência.

Passo 2

Item (a)(1): Se \sum_{n=0}^\infty c_n x^n tem raio de convergência R=10, ao derivar termo a termo obtemos
\sum_{n=1}^\infty n\,c_n\,x^{n-1}.
Pelo critério de Cauchy–Hadamard ou teste da raiz, o fator n não altera \limsup_{n\to\infty}|c_n|^{1/n}. Logo o raio da série derivada permanece 10.

Passo 3

Item (a)(2): Se \sum_{n=0}^\infty b_n x^n converge para |x|<2, seu raio é R=2. A série
\sum_{n=0}^\infty \frac{b_n}{n+1}\,x^{n+1}
é obtida integrando termo a termo \sum b_n x^n. A integração termo a termo também preserva o raio de convergência, logo este permanece 2.

Passo 4

Item (b): Comece de
\frac1{1+x}=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n x^n,\quad |x|<1.
A primeira derivada dá
-\,(1+x)^{-2}=\sum_{n=1}^\infty n(-1)^n x^{n-1},
e a segunda
\frac{d^2}{dx^2}\frac1{1+x}=2\,(1+x)^{-3}=\sum_{n=2}^\infty n(n-1)(-1)^n x^{n-2}.
Dividindo por 2 e reindexando com k=n-2, resulta
\frac1{(1+x)^3} =\sum_{k=0}^\infty\frac{(k+2)(k+1)}2\,(-1)^k x^k,\quad |x|<1.

Passo 5

Item (c): Basta multiplicar a série de (b) por x^2:
\frac{x^2}{(1+x)^3} =\sum_{k=0}^\infty\frac{(k+2)(k+1)}2\,(-1)^k x^{k+2}.
Reescrevendo com n=k+2 obtemos
\frac{x^2}{(1+x)^3} =\sum_{n=2}^\infty\frac{n(n-1)}2\,(-1)^n x^n,\quad |x|<1.

Resposta

(a)(1) 10
(a)(2) 2
(b) \displaystyle\frac1{(1+x)^3}=\sum_{k=0}^\infty\frac{(k+2)(k+1)}2(-1)^k x^k,\\ |x|<1
(c) \displaystyle\frac{x^2}{(1+x)^3}=\sum_{n=2}^\infty\frac{n(n-1)}2(-1)^n x^n,\\ |x|<1

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