(a) Use derivação para encontrar a representação em série de potências para
- Se o raio de convergência da série de potências
for 10 , qual é o raio de convergência da série
? Por quê?
- Suponha que você saiba que a série
converge para
. O que você pode dizer sobre a série a seguir? Por quê?
Qual é o raio de convergência?
(b) Use o item (a) para encontrar uma série de potências para
(c) Use item (b) para achar uma série de potências para
(b) Use o item (a) para encontrar uma série de potências para
Passo 1
O enunciado tem três partes. No item (a) pedem para usar derivação e integração termo a termo para determinar raios de convergência de séries relacionadas a
e
. No item (b) usam o item (a) para achar a série de potências de
. No item (c) multiplicam a série de (b) por
para obter a série de
. Sabemos que derivação e integração termo a termo preservam o raio de convergência.
Passo 2
Item (a)(1): Se
tem raio de convergência
, ao derivar termo a termo obtemos
Pelo critério de Cauchy–Hadamard ou teste da raiz, o fator
não altera
. Logo o raio da série derivada permanece
.
Passo 3
Item (a)(2): Se
converge para
, seu raio é
. A série
é obtida integrando termo a termo
. A integração termo a termo também preserva o raio de convergência, logo este permanece
.
Passo 4
Item (b): Comece de
A primeira derivada dá
e a segunda
Dividindo por
e reindexando com
, resulta
Passo 5
Item (c): Basta multiplicar a série de (b) por
:
Reescrevendo com
obtemos
Resposta
(a)(1)
(a)(2)
(b)
(c)
(a)(2)
(b)
(c)