Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o raio de convergência.
\sum_{n=3}^{\infty} \frac{n-2}{2^{n-1}} x^{n}, R=2

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=3}^{\infty}\frac{n-2}{2^{\,n-1}}\,x^{n}
e pede que a representemos como função de x (uma expressão fechada) e que determinemos o raio de convergência.

Passo 2

Para facilitar a soma, vamos reindexar definindo k=n-2. Quando n percorre de 3 até \infty, k percorre de 1 até \infty.

Passo 3

Substituindo n=k+2 na soma,
\sum_{n=3}^{\infty}\frac{n-2}{2^{\,n-1}}\,x^{n} =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k}{2^{(k+2)-1}}\,x^{\,k+2} =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k}{2^{\,k+1}}\,x^{\,k+2}.

Passo 4

Fatorando \displaystyle\frac{x^{k+2}}{2^{k+1}}=\frac{x^2}{2}\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)^k, obtemos
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k}{2^{\,k+1}}\,x^{\,k+2} =\frac{x^2}{2}\sum_{k=1}^{\infty}k\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr)^k.

Passo 5

Usamos a soma conhecida da série \sum_{k=1}^\infty k\,r^k, válida para |r|<1:
\sum_{k=1}^\infty k\,r^k = \frac{r}{(1-r)^2}.
Aqui tomamos r=\tfrac{x}{2}.

Passo 6

Substituindo r=\tfrac{x}{2},
\sum_{k=1}^{\infty}k\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr)^k =\frac{\tfrac{x}{2}}{\bigl(1-\tfrac{x}{2}\bigr)^2} \quad\Longrightarrow\quad \sum_{n=3}^{\infty}\frac{n-2}{2^{\,n-1}}\,x^{n} =\frac{x^2}{2}\,\frac{\tfrac{x}{2}}{\bigl(1-\tfrac{x}{2}\bigr)^2} =\frac{x^3}{4\bigl(1-\tfrac{x}{2}\bigr)^2}.

Passo 7

Para o raio de convergência, aplicamos o teste da razão ao termo geral a_n x^n com a_n=\frac{n-2}{2^{\,n-1}}. Em módulo,
\lim_{n\to\infty}\Bigl|\frac{a_{n+1}x^{n+1}}{a_nx^n}\Bigr| =\lim_{n\to\infty}\frac{(n-1)/2^n}{(n-2)/2^{n-1}}\,|x| =\frac{|x|}{2}.
A condição de convergência é \tfrac{|x|}{2}<1, ou seja |x|<2. Logo o raio é R=2.

Resposta

A série representa a função
f(x)=\frac{x^3}{4\bigl(1-\tfrac{x}{2}\bigr)^2},
e o raio de convergência é R=2.

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