Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o raio de convergência.
Passo 1
O enunciado nos dá a série
e pede que a representemos como função de
(uma expressão fechada) e que determinemos o raio de convergência.
Passo 2
Para facilitar a soma, vamos reindexar definindo
. Quando
percorre de
até
,
percorre de
até
.
Passo 3
Substituindo
na soma,
Passo 4
Fatorando
, obtemos
Passo 5
Usamos a soma conhecida da série
, válida para
:
Aqui tomamos
.
Passo 6
Substituindo
,
Passo 7
Para o raio de convergência, aplicamos o teste da razão ao termo geral
com
. Em módulo,
A condição de convergência é
, ou seja
. Logo o raio é
.
Resposta
A série representa a função
e o raio de convergência é
.