Em cada item, use a regra da cadeia para calcular partial f / partial u e partial f / partial v (escreva a resposta mantendo as variáveis originais, não é necessário substituir tudo em termos de u e v ).
© f(x, y)=e^x cos y, x(u, v)=u v, y(u, v)=raizu^2+v^2.
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Em cada item, use derivação implícita para determinar as derivadas parciais de z em relação a x e y.
(a) x^2+2 y^2+3 z^2=1.

Passo 1

Este exercício tem dois itens. No © vamos usar a regra da cadeia para calcular partial f/partial u e partial f/partial v sabendo que f(x,y)=e^xcos y, x=uv e y=raizu^2+v^2. Para isso precisamos das derivadas parciais de f em relação a x e y e das derivadas de x e y em relação a u e v. No (a) vamos usar derivação implícita na equação x^2+2y^2+3z^2=1 para encontrar partial z/partial x e partial z/partial y.

Passo 2

No item ©, calculamos primeiro as derivadas parciais de f(x,y)=e^xcos y:
fx=partial fpartial x=e^xcos y, fy=partial fpartial y=-e^xsin y
Também derivamos x=uv e em relação a y=raizu^2+v^2 e u:
v

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia:
partial fpartial u=fx,xu+fy,yu=e^xcos ycdot v+(-e^xsin y)cdoturaizu^2+v^2,
partial fpartial v=fx,xv+fy,yv=e^xcos ycdot u+(-e^xsin y)cdotvraizu^2+v^2

Passo 4

No item (a), diferenciamos implicitamente a relação x^2+2y^2+3z^2=1. Para partial z/partial x, tomamos derivada em relação a x (com y constante):
2x+6z,partial zpartial x=0Longrightarrowpartial zpartial x=-x3z

Passo 5

Para partial z/partial y, diferenciamos em relação a y (com x constante):
4y+6z,partial zpartial y=0Longrightarrowpartial zpartial y=-2y3z

Resposta

Para o item ©: partial f/partial u=e^xvcos y-e^xuraizu^2+v^2sin y e partial f/partial v=e^xucos y-e^xvraizu^2+v^2sin y. Para o item (a): partial z/partial x=-x3z e partial z/partial y=-2y3z.

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