Em cada item, use a regra da cadeia para calcular partial f / partial u e partial f / partial v (escreva a resposta mantendo as variáveis originais, não é necessário substituir tudo em termos de u e v ).
(b) f(x, y)=raizx e^x y, x(u, v)=1+u v, y(u, v)=u^2-v^2.
C10
Em cada item, use derivação implícita para determinar as derivadas parciais de z em relação a x e y.
(a) x^2-y^2+z^2-2 z=4.

Passo 1

Vamos resolver dois problemas: (1) usar a regra da cadeia para calcular partial f/partial u e partial f/partial v em f(x,y)=raizxe^xy com x=1+uv e y=u^2-v^2; (2) aplicar derivação implícita na equação x^2 - y^2 + z^2 - 2z = 4 para achar partial z/partial x e partial z/partial y.

Passo 2

Vamos achar primeiro as derivadas parciais de f em relação a x e y. Temos f(x,y)=x^1/2e^xy. Derivando em relação a x:
fx=12x^-1/2e^xy+x^1/2e^xycdot y=e^xyl(12raizx+raizx,yr)

Passo 3

Derivando f em relação a y:
fy=x^1/2e^xycdot x=x^3/2e^xy

Passo 4

Agora calculamos as derivadas de x e y em função de u,v: x=1+uv
xu=v, xv=u,
e y=u^2-v^2
yu=2u, yv=-2v

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia:
partial fpartial u=fx,xu+fy,yu=e^xyl(tfrac12raizx+raizx,yr)v+ x^3/2e^xycdot2u,
partial fpartial v=fx,xv+fy,yv=e^xyl(tfrac12raizx+raizx,yr)u+ x^3/2e^xycdot(-2v)

Passo 6

Para a derivação implícita, definimos G(x,y,z)=x^2-y^2+z^2-2z-4=0. Derivando em relação a x (com y fixo):
2x+(2z-2)partial zpartial x=0impliespartial zpartial x=-2x2z-2=-xz-1

Passo 7

Derivando em relação a y (com x fixo):
[-2y+(2z-2)\frac{\partial z}{\partial y}=0\implies\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{2y}{2z-2}=\frac{y}{z-1}.

Resposta

Para f:
partial fpartial u=e^xyl(12raizx+raizx,yr)v+2u,x^3/2e^xy,
partial fpartial v=e^xyl(12raizx+raizx,yr)u-2v,x^3/2e^xy
Para z:
partial zpartial x=-xz-1, partial zpartial y=yz-1

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