Determine o volume do sólido S que é limitado pelo paraboloide elíptico x^2+2 y^2+z=16, pelos planos x=2, y=2 e pelos 3 planos coordenados. Esboce o desenho do sólido S.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar o volume de um sólido que está limitado por um paraboloide elíptico dado por , pelos planos , e pelos três planos coordenados (ou seja, , , e ). Vamos usar cálculo, mais especificamente integrais múltiplas, pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação do paraboloide para expressar z = 16 - x^2 - 2y^2 em função de e . Ficaria assim:
Isso nos dá a altura do sólido em qualquer ponto dentro da região que estamos considerando.

Passo 3

Agora, precisamos determinar os limites de integração para 0 <= x <= 2 0 <= y <= 2 e . Como os planos são e , e também temos os planos coordenados e , nossos limites são:
Dentro dessa região, varia de 0 até a superfície do paraboloide, que é .

Passo 4

Vamos montar a integral dupla para calcular o volume. A fórmula geral para o volume usando integrais duplas é:
V = integralx=0^2 integraly=0^2 (16 - x^2 - 2y^2) , dy , dx
Isso significa que para cada ponto na nossa área, a altura vai até o paraboloide.

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo.
Primeiro, integramos em relação a integral0^2 (16 - x^2 - 2y^2) , dy = [16y - x^2y - 23y^3]0^2 :
= 16(2) - x^2(2) - 23(8) - (0 - 0 - 0) = 32 - 2x^2 - 163
Calculando isso:
= 32 - 163 - 2x^2 = 963 - 163 - 2x^2 = 803 - 2x^2
Simplificando:
V = integral0^2 (803 - 2x^2) , dx = [803x - 23x^3]0^2
Agora, integramos em relação a = 803(2) - 23(8) - (0 - 0) = 1603 - 163 = 1443 = 48 :
Calculando isso:

Resposta

O volume do sólido é de 48 unidades cúbicas.

Exercícios relacionados