Determine o volume do sólido S que é limitado pelo paraboloide elíptico
, pelos planos
e pelos 3 planos coordenados. Esboce
desenho do sólido
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar o volume de um sólido que está limitado por um paraboloide elíptico dado por
, pelos planos
,
e pelos três planos coordenados (ou seja,
,
, e
). Vamos usar cálculo, mais especificamente integrais múltiplas, pra resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação do paraboloide para expressar
em função de
e
. Ficaria assim:
Isso nos dá a altura do sólido em qualquer ponto
dentro da região que estamos considerando.
Passo 3
Agora, precisamos determinar os limites de integração para
e
. Como os planos são
e
, e também temos os planos coordenados
e
, nossos limites são:
Dentro dessa região,
varia de 0 até a superfície do paraboloide, que é
.
Passo 4
Vamos montar a integral dupla para calcular o volume. A fórmula geral para o volume usando integrais duplas é:
Isso significa que para cada ponto
na nossa área, a altura
vai até o paraboloide.
Passo 5
Vamos resolver a integral passo a passo.
Primeiro, integramos em relação a
:
Calculando isso:
Simplificando:
Agora, integramos em relação a
:
Calculando isso:
Resposta
O volume do sólido
é de 48 unidades cúbicas.