Considere a função f(x, y)=x^2+2 x y-3 y^2 e a parametrização x(u, v)=u^2-v^2 e y(u, v)=u v.
© Determine f(u, v).

Passo 1

O enunciado pede para compor a função f(x,y)=x^2+2xy-3y^2 com a parametrização x=u^2-v^2 e y=uv. O conteúdo é substituição de variáveis em funções, e vamos precisar apenas trocar x e y por suas expressões em u,v.

Passo 2

Começamos escrevendo
f(u,v)=l(u^2-v^2r)^2+2,(u^2-v^2)(uv)-3,(uv)^2

Passo 3

Agora é só expandir e simplificar termo a termo:
  • (u^2-v^2)^2=u^4-2u^2v^2+v^4
  • 2(u^2-v^2)(uv)=2u^3v-2uv^3
  • -3(uv)^2=-3u^2v^2
    Somando tudo: u^4+v^4+2u^3v-2uv^3-5u^2v^2.

Resposta

f(u,v)=u^4+2u^3v-5u^2v^2-2uv^3+v^4

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