Calcular a área delimitada pelas curvas y=arctg x, y=pi4 e x=0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área da região limitada pelas curvas y = arctan x, y = pi4 e a reta x = 0. Para isso vamos usar o conceito de área entre curvas, montando uma integral definida em x.

Passo 2

Encontramos o ponto de interseção das duas curvas resolvendo arctan x = pi4, o que dá x = 1. Assim, a região em x vai de 0 até 1.

Passo 3

A área é a integral da diferença entre a função de cima e a de baixo, de x = 0 a x = 1:
A = integral0^1 l(pi4 - arctan xr),dx

Passo 4

Para calcular integral0^1 arctan x,dx, usamos integração por partes com u = arctan x e dv = dx. Isso leva a:
integral0^1 arctan x,dx = l[x,arctan xr]0^1 - integral0^1 x1 + x^2,dx = pi4 - 12ln 2

Passo 5

Substituindo esse resultado na integral de área, chegamos a:
A = pi4 cdot 1 - l(pi4 - 12ln 2r) = 12ln 2

Resposta

12 ln 2

Exercícios relacionados