Em cada item, use a regra da cadeia para calcular partial f / partial u e partial f / partial v (escreva a resposta mantendo as variáveis originais, não é necessário substituir tudo em termos de u e v ).
(a) f(x, y)=ln (3 x+2 y), x(u, v)=u sen v, y(u, v)=v cos u.

Passo 1

Temos a função f(x,y)=ln(3x+2y) e as parametrizações x(u,v)=usin v e y(u,v)=vcos u. O objetivo é achar partial f/partial u e partial f/partial v usando a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, derivamos f em relação a x e y. Como f(x,y)=ln(3x+2y), temos
$$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{3}{3x+2y}, \quad
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{2}{3x+2y}.$$

Passo 3

Em seguida, derivamos as funções de parametrização:
partial xpartial u=sin v, partial xpartial v=ucos v, partial ypartial u=-vsin u, partial ypartial v=cos u

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia:
partial fpartial u=partial fpartial xpartial xpartial u+partial fpartial ypartial ypartial u, partial fpartial v=partial fpartial xpartial xpartial v+partial fpartial ypartial ypartial v

Resposta

partial fpartial u=3sin v -2vsin u3x+2y
partial fpartial v=3ucos v +2cos u3x+2y

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