Em cada item, verifique que a função z é solução da equação diferencial parcial.
(b) partial^2 zpartial y^2=alpha^2 partial^2 zpartial x^2, z=sen(k x) sen(alpha k y), em que k, alpha in R.
C12
Use a definição de derivada parcial para calcular as derivadas parciais de f(x, y)=x y^2-x^2 y.
C13
Considere a função
f(x, y)=cc x^3 y-x y^3x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)
(a) Determine as derivadas parciais de f. Observação. Note que você pode usar as regras de derivação para calcular as derivadas parciais em qualquer ponto diferente de (0,0). Por outro lado, no ponto (0,0), como a função é descrita em duas sentenças, você precisa recorrer à definição por limite para calcular.

Passo 1

Temos três itens: (b) verificar que a função z=sin(kx)sin(alpha k y) satisfaz a EDP partial^2 zpartial y^2=alpha^2partial^2 zpartial x^2; C12: calcular as derivadas parciais de f(x,y)=xy^2 - x^2y usando definição e regras de derivação; C13(a): determinar as derivadas parciais de função por partes
x^3y - xy^3x^2+y^2,&(x,y)neq(0,0)0,&(x,y)=(0,0)
para (x,y)neq(0,0) e no ponto (0,0) por limite.

Passo 2

Para o item (b), calculamos primeiro as derivadas em x:
partial zpartial x=kcos(kx)sin(alpha k y),
partial^2 zpartial x^2=-k^2sin(kx)sin(alpha k y)
Em y:
partial zpartial y=alpha ksin(kx)cos(alpha k y),
partial^2 zpartial y^2=-alpha^2k^2sin(kx)sin(alpha k y)
Comparando, vemos que

e portanto a EDP é satisfeita.

Passo 3

Em C12, como f(x,y)=xy^2 - x^2y é polinomial, usamos regras de derivação. Tratando y como constante para partial/partial x:
partial fpartial x=y^2-2xy
Tratando x como constante para partial/partial y:
partial fpartial y=2xy-x^2

Passo 4

Em C13, para (x,y)neq(0,0) aplicamos a regra do quociente com
u=x^3y - xy^3, v=x^2+y^2.
Calculamos
ux=3x^2y-y^3, vx=2x, uy=x^3-3xy^2, vy=2y
Logo
partial fpartial x=uxv - u vxv^2,
partial fpartial y=uyv - u vyv^2
No ponto (0,0), usamos definição por limite:
partial fpartial x(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h=0,
partial fpartial y(0,0)=limhto0f(0,h)-f(0,0)h=0

Resposta

(b) Verificado que partial^2 z/partial y^2=alpha^2partial^2 z/partial x^2.
C12:
partial fpartial x=y^2-2xy,partial fpartial y=2xy-x^2
C13(a): Para (x,y)neq(0,0):
partial fpartial x=(3x^2y - y^3)(x^2+y^2)-(x^3y - xy^3)(2x)(x^2+y^2)^2,
partial fpartial y=(x^3 - 3xy^2)(x^2+y^2)-(x^3y - xy^3)(2y)(x^2+y^2)^2
No ponto (0,0):
partial fpartial x(0,0)=0,partial fpartial y(0,0)=0

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