Obs. para 8) e 9): A integral de uma curva (ou função vetorial) F(t)=(F1(t), ldots, Fn(t)), no intervalo [a, b], é simplesmente a integral de cada uma de suas funções coordenadas, ou seja
integrala^b F(t) d t=(integrala^b F1(t) d t, integrala^b F2(t) d t, ldots, integrala^b Fn(t) d t)
Obtém-se assim um vetor numérico (pois cada uma destas integrais é um número real).
Calcule a integral das seguintes curvas em R^2, no intervalo [0, pi].
F(t)=(sen t, sen^2 t)

Passo 1

Resumo do problema: queremos calcular a integral de F(t) = (sin t, sin^2 t) no intervalo [0,pi]. O conteúdo é a integração de função vetorial, que se faz integrando cada componente separadamente.

Passo 2

Pela definição de integral de curva vetorial, temos:
integral0^pi F(t),dt = gl(integral0^pi sin t,dt,; integral0^pi sin^2 t,dtgr)

Passo 3

Calcular a primeira componente:
integral0^pi sin t,dt = [-cos t]0^pi = -cos pi + cos 0 = 2

Passo 4

Para a segunda componente, aplicamos a identidade trigonométrica sin^2 t = 1-cos(2t)2, assim
integral0^pi sin^2 t,dt = 12integral0^pi (1 - cos 2t),dt

Passo 5

Agora avaliamos a integral transformada:
12integral0^pi (1 - cos 2t),dt = 12l[integral0^pi 1,dt - integral0^pi cos 2t,dtr] = 12l[t - tfrac12sin2tr]0^pi = pi2

Resposta

(2, pi2)

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