(Relação de Reciprocidade para a Transformada de Fourier)
Mostre que para qualquer função f temos F^4(f)=f.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, ao aplicarmos a transformada de Fourier quatro vezes sobre uma função f, recuperamos a própria f. O conteúdo aqui envolve transformar, usar a identidade do delta de Dirac e entender como a definição simétrica da transformada garante essa reciprocidade.

Passo 2

Definimos a transformada de Fourier simétrica por
F[f](k) = 1raiz2pi integral-infty^infty f(x),e^-ikx,dx
Nesse mesmo estilo, a transformada inversa é idêntica:
f(x) = 1raiz2pi integral-infty^infty F[f](k),e^ikx,dk
Com isso temos uma convenção que torna F uma transformação unitária.

Passo 3

Para calcular F^2[f](x)=F[F[f]](x), usamos a definição duas vezes:
F^2[f](x)=1raiz2piintegral-infty^infty gl(1raiz2piintegral-infty^infty f(y)e^-ikydygr)e^-ikxdk
Reunindo o fator 1/2pi vem
F^2[f](x)=12piintegral-infty^inftyintegral-infty^infty f(y)e^-ik(y+x)dy,dk

Passo 4

Reconhecemos
integral-infty^infty e^-ik(y+x)dk = 2pi,de
onde de é o delta de Dirac. Logo
F^2[f](x)=integral-infty^infty f(y),de

Passo 5

Como consequência imediata,
F^3[f](x)=F[F^2[f]](x)=F[f(-cdot)](x)=F[f](-x)
e
F^4[f](x)=F[F^3[f]](x)=f(x)
Ou seja, após quatro aplicações voltamos à função original.

Resposta

Para qualquer função f, temos F^4[f]=f.

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