(Relação de Reciprocidade para a Transformada de Fourier)
Mostre que para qualquer função
temos
.
Mostre que para qualquer função
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, ao aplicarmos a transformada de Fourier quatro vezes sobre uma função
, recuperamos a própria
. O conteúdo aqui envolve transformar, usar a identidade do delta de Dirac e entender como a definição simétrica da transformada garante essa reciprocidade.
Passo 2
Definimos a transformada de Fourier simétrica por
Nesse mesmo estilo, a transformada inversa é idêntica:
Com isso temos uma convenção que torna
uma transformação unitária.
Passo 3
Para calcular
, usamos a definição duas vezes:
Reunindo o fator
vem
Passo 4
Reconhecemos
onde
é o delta de Dirac. Logo
Passo 5
Como consequência imediata,
e
Ou seja, após quatro aplicações voltamos à função original.
Resposta
Para qualquer função
, temos
.