Calcule a transformada de Fourier das funções a seguir (em todos os casos, a>0 ).
f(x)=cl1-xa & se |x|a

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Fourier da função triangular
f(x)=1-dfracxa,&|x|a,
com parâmetro positivo a>0. O conteúdo é transformada de Fourier, e vamos usar a definição
F(omega)=integral-infty^+inftyf(x)e^-iomega x,dx
além da paridade da função para simplificar a conta.

Passo 2

Como f(x) é real e par (ou seja, f(-x)=f(x)), podemos escrever
F(omega)=2integral0^al(1-tfracxar)cos(omega x),dx
porque a parte ímpar do exponencial se anula.

Passo 3

Chamemos
I1=integral0^acos(omega x),dxe I2=integral0^axcos(omega x),dx
Então
F(omega)=2l(I1-tfrac1aI2r)

Passo 4

Calculemos I1:
I1=integral0^acos(omega x),dx=l[tfracsin(omega x)omegar]0^a=sin(omega a)omega

Passo 5

Agora I2: usando integração por partes com u=x e dv=cos(omega x)dx, obtemos
$$I_2=\Bigl[x\tfrac{\sin(\omega x)}{\omega}\Bigr]_{0}{a}-\int_{0}{a}\tfrac{\sin(\omega x)}{\omega},dx
=\frac{a\sin(\omega a)}{\omega}+\frac{\cos(\omega a)-1}{\omega^2}.$$

Passo 6

Substituindo I1 e I2 em F(omega)=2(I1-tfrac1aI2), temos
$$F(\omega)=2\Bigl(\frac{\sin(\omega a)}{\omega}-\frac{1}{a}\Bigl[\frac{a\sin(\omega a)}{\omega}+\frac{\cos(\omega a)-1}{\omega^2}\Bigr]\Bigr)
=\frac{2\bigl(1-\cos(\omega a)\bigr)}{a,\omega^2}.$$

Passo 7

Podemos usar a identidade 1-costheta=2sin^2(theta/2) para escrever também
$$F(\omega)=\frac{2\cdot2\sin^2\bigl(\tfrac{\omega a}{2}\bigr)}{a,\omega^2}
= a\Bigl(\frac{\sin(\tfrac{\omega a}{2})}{\tfrac{\omega a}{2}}\Bigr)^{2},$$
uma forma em que aparece um \emph{sinc} ao quadrado.

Resposta

F(omega)=2l(1-cos(omega a)r)a,omega^2=al(sinl(tfracomega a2r)tfracomega a2r)^2

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