Calcule a transformada de Fourier das funções a seguir (em todos os casos,
).
Passo 1
O enunciado pede a transformada de Fourier da função triangular
com parâmetro positivo
além da paridade da função para simplificar a conta.
Passo 2
Como
é real e par (ou seja,
), podemos escrever
porque a parte ímpar do exponencial se anula.
Passo 3
Chamemos
Então
Passo 4
Calculemos
:
Passo 5
Agora
: usando integração por partes com
e
, obtemos
$$I_2=\Bigl[x\tfrac{\sin(\omega x)}{\omega}\Bigr]_{0}{a}-\int_{0}{a}\tfrac{\sin(\omega x)}{\omega},dx
=\frac{a\sin(\omega a)}{\omega}+\frac{\cos(\omega a)-1}{\omega^2}.$$
Passo 6
Substituindo
e
em
, temos
$$F(\omega)=2\Bigl(\frac{\sin(\omega a)}{\omega}-\frac{1}{a}\Bigl[\frac{a\sin(\omega a)}{\omega}+\frac{\cos(\omega a)-1}{\omega^2}\Bigr]\Bigr)
=\frac{2\bigl(1-\cos(\omega a)\bigr)}{a,\omega^2}.$$
Passo 7
Podemos usar a identidade
para escrever também
$$F(\omega)=\frac{2\cdot2\sin^2\bigl(\tfrac{\omega a}{2}\bigr)}{a,\omega^2}
= a\Bigl(\frac{\sin(\tfrac{\omega a}{2})}{\tfrac{\omega a}{2}}\Bigr)^{2},$$
uma forma em que aparece um \emph{sinc} ao quadrado.
uma forma em que aparece um \emph{sinc} ao quadrado.