Em cada item, utilize o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo, propriedades da integral (se necessário) e as regras de derivação (se necessário) para calcular a derivada da função f.
(a) f(x)=integral1^x ln (1+t^2) d t.
(b) f(x)=integralx^2 t^3 sen t d t
© f(x)=integral0^x^2 t^3 d t.
(d) f(x)=integralx^x^2 e^t d t.

Passo 1

A questão pede para calcular a derivada de quatro funções definidas por integrais com limites variáveis. Vamos usar o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo, que diz que se F(x)=integrala^x f(t),dt então F'(x)=f(x), além da regra da cadeia quando o limite depende de x e da propriedade de troca de limites integralb^a=-integrala^b.

Passo 2

Para (a), aplicamos diretamente o Teorema Fundamental: como f(x)=integral1^xln(1+t^2),dt, temos f'(x)=lnl(1+x^2r)

Passo 3

Em (b), o limite superior é constante e o inferior é x. Usando integralx^2t^3sin t,dt=-integral2^xt^3sin t,dt e o Teorema Fundamental, obtemos f'(x)=-l(x^3sin xr)

Passo 4

No item ©, o limite superior é x^2. Primeiro definimos G(u)=integral0^ut^3,dt, então f(x)=G(x^2). Logo, pela regra da cadeia, f'(x)=G'(x^2)cdot 2x=(x^2)^3cdot2x=2x^7

Passo 5

Em (d) temos limites variáveis em cima e em baixo. A derivada é dada por ddxintegralx^x^2e^t,dt=e^x^2cdot2x - e^x Aplicamos a regra de Leibniz: derivada do limite superior vezes e^x^2 menos derivada do limite inferior vezes e^x.

Resposta

(a) f'(x)=ln(1+x^2)
(b) f'(x)=-x^3sin x
© f'(x)=2x^7
(d) f'(x)=2x,e^x^2-e^x.

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