Em cada item, utilize o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo, propriedades da integral (se necessário) e as regras de derivação (se necessário) para calcular a derivada da função
.
(a)
.
(b)
©
.
(d)
.
(a)
(b)
©
(d)
Passo 1
A questão pede para calcular a derivada de quatro funções definidas por integrais com limites variáveis. Vamos usar o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo, que diz que se
então
, além da regra da cadeia quando o limite depende de
e da propriedade de troca de limites
.
Passo 2
Para (a), aplicamos diretamente o Teorema Fundamental: como
, temos
Passo 3
Em (b), o limite superior é constante e o inferior é
. Usando
e o Teorema Fundamental, obtemos
Passo 4
No item ©, o limite superior é
. Primeiro definimos
, então
. Logo, pela regra da cadeia,
Passo 5
Em (d) temos limites variáveis em cima e em baixo. A derivada é dada por
Aplicamos a regra de Leibniz: derivada do limite superior vezes
menos derivada do limite inferior vezes
.
Resposta
(a)
(b)
©
(d) .
(b)
©
(d)